解方程的本質是什麽？

方程

含有未知數的等式叫做方程。

等式的基本性質 1：等式兩邊同時加上（或減去）同壹個數或同壹個代數式，其結果仍是等式。

用字母表示，如果 a = b，c 是壹個數或壹個代數式。那麽：

(1) a+c = b+c

(2) a-c = b-c

等式的基本性質 2：等式兩邊乘以或除以同壹個不為零的數，所得的結果仍是等式。

(3) 如果 a = b，那麽 b = a（等式的對稱性）。

(4) 如果 a=b，b=c，那麽 a=c（等式的轉移性）。

等式的壹些概念

解方程：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。

解方程：求方程解的過程叫做解方程。

解方程的基礎：1.移項；2.方程的基本性質；3.合並同類項；4.加、減、乘、除各部分之間的關系。

解方程的步驟：1.如果可以，先計算； 2. 轉化 - 計算 - 結果

例如：3x=5*6

3：3x=5*6

3x=30

x=30/3

< p> x=10

移項：把方程中的某些項從方程的壹邊移到另壹邊，然後改變符號，這叫做移項，是根據方程的基本性質1

分整式方程和分式方程。

整式方程：方程兩邊相對於未知數都是整數的方程稱為積分方程。

分式方程：分母中含有未知數的方程稱為分式方程。

壹元壹次方程

人教版五年級數學下冊第四章必學，人教版七年級數學下冊第七章必學，蘇教版五年級下第壹章

定義：只含有壹個未知數，且未知數的次數為壹次的整式方程叫做壹元壹次方程。通常形式為 kx+b=0 （k、b 為常數，且 k≠0）。

壹般解法：

⒈ 去分母方程兩邊同時乘以各分母的最小公倍數。

⒈去括號壹般先去括號，再去括號，最後去大括號。但有時為了便於計算，可以根據實際情況來確定順序。可以根據乘法的分配律來確定。

合並同類項把原方程化為 ax=b(a≠0) 的形式。

註意因式分解壹等式兩邊同時除以未知數的系數。

選擇方程的解。

同解方程：如果兩個方程有相同的解，就叫做同解方程。

等式同解的原理：

⒈等式兩邊加減相同的數或相同的式子所得的等式與原等式同解。

⒉等式兩邊乘以或除以同壹個不為零的數所得的等式與原等式相同。

處理壹元二次方程的重要方法：

⒈ 仔細審題

⒉ 分析已知量和未知量

⒊ 找出等量關系

將未知量化簡

要註意小心方程

⒈解方程

測試

⑶寫出答案

教學設計示例

教學目標

1．使學生掌握用壹元壹次方程解決簡單應用題的方法和步驟；能列壹元壹次方程解決簡單的應用題；

2.培養學生的觀察能力，提高學生分析問題、解決問題的能力；

3．使學生養成正確思考問題的良好習慣。好習慣。

教學重點、難點

壹元壹次方程簡單應用題的解題方法和步驟。

課堂教學過程設計

壹、從學生原有的認知結構出發提出問題

在小學算術中，我們已經學習了用算術方法解決實際問題的有關知識，那麽壹道實際問題能不能應用壹元二次方程解決呢？如果能解決，又該如何解決呢？用壹元二次方程解決應用題與用算術方法解決應用題相比，它又具有哪些優越性呢？

為了回答這些問題，我們來看下面的例題。

例 1 壹個數的三倍減 2 等於壹個數與 4 的和。

（先用算式解答，學生解答，教師板書）

解1：（4+2）÷（3-1）=3。

答：某數是3.

（二、用代數法解決，教師引導，學生口答完成）

解法2：設某數是x，則有3x-2=x+4.

我們知道，方程是帶未知數的等式，等式表示等量關系。因此，對於應用題中提供的任何條件，都應首先從中找出等量關系，然後把這個等量關系用等式表示出來。

本節課，我們將通過實例來說明如何找到等量關系，以及將等量關系轉化為等式的方法和步驟。

二、師生****，壹起分析、研究壹元二次方程解簡單應用題的方法和步驟

例2 某面粉倉庫裏存放的面粉運走了15%，還剩下42500千克，這個倉庫裏有多少面粉？

師生****，分析：

1．本題給出的已知量和未知量分別是多少？

2.已知量和未知量之間的等量關系是什麽？(原來重量-運出重量=剩余重量）

3、如果原來面粉有 x 千克，那麽運出面粉可以表示多少千克？利用上述等量關系，如何列方程？

上述分析過程可以列式如下：

解：設原來有面粉x千克，則運出15%x千克，由題意得

x-15% x=42500,

所以x=50000.

答：原來有面粉50000千克。

這時，讓學生討論：除了上面的表達式，這道題中的等量關系還有其他表達式嗎？如果有，是什麽？

（另外，原重=出庫重+余重；原重-余重=出庫重）

教師應指出：

（1）這兩種表達式的意義是什麽？(1）這兩個等量關系的表達式同 "原重-出廠重=余重"，雖然形式不同，但實質相同，可以任意

（2）例2的解方程過程比較簡單，學生要註意模仿。

根據對例2的分析和解答過程，首先，請同學們想壹想解壹元壹次方程的應用方法和步驟；然後，采取質疑、反饋的方式；最後，根據同學們總結的情況，教師歸納如下：

（1）認真審題，透徹理解題意。即弄清已知量、未知量及其相互關系，並用字母（如x）表示題中合理的未知量；

（2）根據題意找出能表示應用題全部意義的等量關系。(這是關鍵壹步）；

（3）根據等量關系，正確列出方程。即列出的方程應滿足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數式單位相同；問題的條件要充分利用，不能省略或壹個條件不能重復使用等；

（4）求出方程的解；

（5）檢驗答案是否寫得清楚完整。這裏所要求的檢驗應該是找到的解對於方程和應用都有意義。

附：列方程時要使方程兩邊相等

例卷：

壹、耐心填空。(每題3分，***30分）

1、-2的相反數是，倒數是，絕對值是。

2.若 |x|=6，則 x= . 3.計算： =

4.x 比它的壹半大 6，方程可以是 .

5.壹艘潛艇在零下 50 米處執行任務，在它正上方 10 米處有壹條鯊魚在遊動，鯊魚的高度是米。

6.用度、分、秒表示：8.31 度 = _____ 度 ______ 分 _____ 秒。

7. 1-2+3-4+5-6+...+87-88=

8.已知，則代數式的值是。

9.定義了壹個新運算：那麽，。

10.禮堂第壹排有 a 個座位，後面每排比第壹排多 1 個座位，那麽第 n 排有座位嗎？

II.認真選擇。(每題3分，***30分）

11．神舟五號飛船的總重量是 7 790 000 克，保留兩位有效數字，用科學記數法表示是（）

A、B、C、D、8

12．已知 2 是方程 3X+a=0 的解，則 a 的值是 ( )，a 的值是 ( )。若 2 是方程 3X+a=0 的解，則 a 的值是 ( )

A. -6 B. -3 C. -4 D. -5

13.若表示有理數，則 ( )

A. 很可能是負數 B. 不可能是負數

C. 壹定是負數

D. 不可能是負數

E. 可以是負數。

C. 壹定是正數 D. 可能是負數也可能是正數

14.已知壹個數的平方是，那麽這個數的立方是（）

A. B. C. 或 D. 或

15.下列算式正確的是（）

A. x-(y-z)=x-y-z B. -(x-y+z)=-x-y-z <

C. x+2y-2z=x-2(z+y) D. -a+c+d+b=-(a-b)-(-c-d)

16.在直線 a，b，c，a‖b，a‖c 中，直線 a 與直線 c 的關系是（）

A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不確定

17.依次取點 A、B、C 在壹條直線上。A、B、C三點依次在壹條直線上，使AB＝9cm，BC＝4cm，若O是直線AC的中點，則直線OB＝（）cm

A ．2.5 B ．1.5 C ．3.5 D ．5

18．根據 "x減去y的差的8倍等於8 "之間的數量關系，可等價於（）

A.x-8y=8 B.8(x-y)=8 C.8x-y=8 D.x-y=8×8

19．長方形的壹邊等於3a+2b，另壹邊比它大a-b，則長方形的周長是（）

A. 14a+6b B. 7a+3b C. 10a+10b D. 12a+8b

19.長方形的周長是（）

20．8b

20.我國政府為了解決老百姓看病難的問題，決定大幅度降低藥品價格。壹種藥品在 1999 年提價 30%，2003 年降價 70%，達到。那麽這種藥品在 1999 年提價前的價格為：( )

A. B.

C. D.

III.用心作答（***40 分）

21．本題 *** 三小題，每小題 4 分

（1）計算（2）解方程：

（3 ）先求解，再求的值：，其中

22.已知壹個角的補角等於這個角余弦的 4 倍，求這個角的度數。(5 分）

23.已知如圖，AO⊥BC，DO⊥OE，（5 分）

（1）在不考慮其他條件的情況下，盡可能多地寫出圖中角的等量關系（至少 3 個）；

（2）若∠COE=35°，求∠AOD 的度數。

24.下表是對光明中學初壹（2）班學生 "父母回家，妳會主動給父母倒杯水 "情況的調查結果．30人主動倒水，20人偶爾倒水，10人不倒水。

(1)計算每類人數占每扇形圓心角的度數。(3分）

(2)制作扇形統計圖，並標出百分比。(3分）

25．如圖①是壹個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖②；再分別連接圖②中間小三角形三邊的中點得到圖③．

（1）圖②中有_____ 個三角形；圖③中有_____ 個三角形．(每空2分）

(2)依次類推，第壹幅圖中共有多少個三角形？

（用代數式表示結論。）（2 分）

26.種了壹批樹。如果每人種 10 棵樹，還有 6 棵樹沒有種；如果每人種 12 棵樹，還有 6 棵樹沒有種。有多少人種了樹？壹共有多少棵樹？(6分)

[編輯本段]二元壹次方程（組）

人教版七年級數學下冊學過，智教版七年級數學第九章學過。

二元壹次方程的定義：含有兩個未知數，且兩個未知數的指數都為1的整式方程，叫做二元壹次方程。

壹元二次方程系的定義：含有兩個未知數的兩個合***壹次方程，叫做壹元二次方程系。

壹元二次方程的解法：使壹元二次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做壹元二次方程的解。

壹元二次方程解：壹元二次方程組的兩個公共 **** 解稱為壹元二次方程組的解。

通解、消元：把方程組中未知數的個數由多到少逐個消去。

消元法有兩種：

代入消元法

例：解方程組 x + y = 5 ① 6x + 13y = 89 ②

解：由①x＝5-y③把③代入②，得6（5-y）＋13y＝89，解得y＝59/7

y＝59/7 代入③，得x＝5-59/7，即x＝-24/-24/-24/-24，為方程組的解．7，即 x=-24/7

∴ x=-24/7，y=59/7

這種解法就是代入消元法。

加減消元法

例：解方程組 x + y = 9 ① x - y = 5 ②

解：①＋②，2x＝14，即x＝7

將x＝7化為①，7＋y＝9，y＝-2

∴x＝7，y＝-2

這樣解就是加減消元法．

二元壹次方程組有三種解：

1. 有壹組解

例如，方程 x+y=5① 6x+13y=89② 的解是 x=-24/7，y=59/7.

2.沒有解集

例如，方程組 x+y=6① 2x+2y=12②，因為這兩個方程實際上是壹個方程（又稱 "方程有兩個相等的實數根"），所以這類方程組有無解集。

3.無解

如方程組 x + y = 4 ① 2x + 2y = 10 ②，因為方程②化簡為 x + y = 5，與方程①矛盾，所以這類方程組無解。

[編輯本段]三元壹次方程

定義：與二元壹次方程類似，含有三個未知數的三個組合***。

三元方程組的解法：類似於壹元二次方程，用消元法逐步消去。

典型問題分析：

為了鼓勵節約用水，某地區自來水階梯水價如下：每戶每月用水量不超過10噸的按0.9元/噸收費；超過10噸但不超過20噸的按1.6元/噸收費；超過20噸的部分按2.4元/噸收費。已知用戶丙的用水量小於 10 噸，用戶乙的用水量大於 10 噸但小於 20 噸。問：甲、乙、丙三個用戶當月共交水費多少元（按整噸收費）？

解：甲用戶用水x噸，乙用戶用水y噸，丙用戶用水z噸

顯然，甲用戶用水量大於20噸

因此，甲付款：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23

B 支付：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-7

丙方出錢：0.9z

2.4x-23=1.6y-7+16

1.6y-7=0.9z+7.5

簡化後得到

3x-2y=40---.-(1)

16y-9z=145-------(2)

由(1)可得 x=(2y+40)/3

所以設 y=1+3k,3<k<；7

當k=4,y=13,x=22時，代入（2）得z=7

當k=5,y=16時，代入（2），z無整數解

當k=6,y=19時，代入（2），z無整數解

所以甲用水22噸，乙用水13噸，丙用水7噸

甲用水29.8元,乙用13.8元,丙用6.3元</CA>

[編輯本段]壹元二次方程

人教版九年級數學上冊必學內容,人教版九年級數學上冊第29章必學內容.

定義：含有壹個未知數，且未知數的最高次數為2的整式方程，這樣的方程叫做壹元二次方程。

壹元二次方程到壹元二次方程有壹個質的轉變，壹元二次方程通常比壹元二次方程復雜得多，無論是在概念上還是在解法上。

1、直接平方法：

直接平方法是用直接平方法解壹元二次方程的方法。用直接平方法解（x-m）2=n（n≥0）形式的方程

，解得x=m± 。

例1：解方程（1）（3x＋1）2＝7 （2）9x2-24x＋16＝11

分析：（1）這個方程用直接平移法顯然好辦，（2）方程左邊完全是平移方式（3x-4）2，右邊＝11>0，所以

這個方程也可用直接平移法求解．9x2-24x+16=11

∴(3x-4 )2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解為 x1= ，x2=

2．配方法：用配方法解方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）

先把常數 c 移到方程的右邊：ax2+bx=-c

使二次項系數為 1．x2+x=-

在方程兩邊各加上壹次項系數壹半的平方： x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊變成完全平方： (x+ )2=

當 b2-4ac ≥ 0 時，x+ =±

∴ x= （這是求根的公式）

例 2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：把常數項移到方程 3x2-4x=2 的右邊

把二次方程系數化為 1：x2-x=

把壹次系數的壹半的平方加到方程兩邊： x2-x+( )2= +( )2

配方法： (x-)2=

直接把方程平方得到： x-=±

∴x=

∴ 原方程的解是 x1= ，x2= 。

3.公式法：將壹元二次方程化為壹般形式，再計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，將系數

a、b、c的值代入公式求根，公式x=（b2-4ac≥0）即可求得方程的根。

例 3：用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：把方程化為壹般形式：2x2-8x+5=0

∴ a=2，b=-8，c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= =

∴ 原方程的解為 x1= ，x2= .

4．因式分解法：將方程變形為壹邊為零，另壹邊為二次多項式的形式分解成兩個主因式的乘積，使

兩個主因式都等於零，得到兩個壹元二次方程，解這兩個壹元二次方程得到的根，就是原方程的兩個

根。這種解壹元二次方程的方法叫做因式分解法。

例 4：用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6) = -8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 （選填） (4) x2-2( + )x+4=0 （選填）

(1) 解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理後得

x2-3x-10=0（方程左邊是二次三項式，右邊為零）

(x-5)(x+2)=0 （方程左邊因式分解）

∴ x-5=0 或 x+2=0 （轉化為兩個壹元壹次方程）

∴ x1=5、x2=-2 是原方程的解。

（2）解：2x2+3x=0

x（2x+3）=0（用公因式法分解方程左邊的因式）

∵x=0或2x+3=0（轉化為兩個壹元二次方程）

∴x1=0，x2=- 是原方程的解。

註意：有些學生在做這類題時容易丟掉解 x=0，應記住壹元二次方程有兩個解。

(3) 解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0（乘十字因式分解時，要特別註意符號，不要出錯。）

∵2x-5=0或3x+10=0

∴x1=，x2=- 是原方程的解。

（4）解：x2-2（+ ）x+4 =0（∵4 可分解為 2 -2，∴本題可因式分解）

（x-2）（x-2 ）=0

∴x1=2，x2=2 是原方程的解．

二元二次方程：含有兩個未知數的整式方程，且未知數的最大值為 2。

[編輯]註釋

壹般來說，n 變量方程是包含 n 個未知數的方程，且包含未知數的項數為 1，主項的系數規定不等於 0；

n 變方程組是由若幹個 n 變方程組成的方程組（壹元二次方程除外）；

壹位數 a 變方程是包含壹個未知數且包含未知項的次數最多的方程（壹元二次方程除外）；

壹元二次方程組是由若幹個壹元二次方程組成的方程組（壹元二次方程除外）；

n 次方程組是包含 n 個未知數且未知項最多包含若幹次的壹元二次方程組（壹元二次方程除外）；

n 次方程組是由若幹個 n 次方程組組成的方程組。n元方程是由若幹個n元a方程（壹元二次方程除外）組成的方程組；

未知項的個數大於方程中的方程個數的方程組稱為不定方程（組），這類方程（組）壹般有無窮多個解。

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