（2012鎮江）甲、乙兩車分別從A地將壹批貨物勻速運往B地，A地出發後0.5h到達B地，結果比A地早1h到達B地．如圖所示，直線 OP、MN 分別表示甲、乙兩車從甲地出發的路程 S（km）與時間 t（h）的關系，甲表示甲、乙兩地間的路程。請結合圖中信息解決下列問題：（1）計算甲、乙兩車的速度及a的值；（2）乙車到達B地後立即勻速返回，甲車以多快的速度到達B地後立即勻速返回，才能與乙車同時返回A地？並畫出甲乙兩車從 A 地返回過程中路程 S（千米）和時間 t（小時）與時間的函數圖象。 解：（1）甲車的速度為 60÷1.5=40（千米/小時），乙車的速度為 60 千米/小時。求 a 的方法如下：方法壹：由題意得，a 60＝a 40-1-0.5，解得：a＝180；方法二：設甲到達乙的時間為t，則乙所用的時間為：t-1-0.5，由路程相等得，40t＝60（t-1-0.5），解得：t＝4.5，a＝40t＝40×4.5＝180；方法三：由題意得，M（0.5，0），可由直線OP、MN的函數關系式分別求得：S甲=40t，S乙=60t-30，設N（t，a），P（t+1，a），代入函數關系式，40（t+1）=a 60t-30=a，解得：t=3.5 a=180；（2）方法壹：設甲返回的速度為xkm/h，則：180 60 -1= 180 x，解得：x=90，經檢驗：x=90 是方程的根且符合題意，所以甲返回的速度為 90km/h，方法二：設甲返回的速度為 xkm/h，則：180 60×2＋0.5＝180 40＋180 x，解得：x＝90，經過檢驗：x＝90是方程的根且符合題意，所以甲返回的速度為90km/h，方法三、：如圖，直線PE、NE分別表示甲、乙兩車從A返回的路程S（千米）與時間t（小時）的關系，點E的橫坐標為：180 60×2＋0．5=6.5，若甲、乙兩車同時返回A地，則甲返回的時間為：6.5-18040=2（小時），所以甲返回的速度為90km/h，方法3：甲返回的速度為90km/h，方法3：甲、乙兩車同時返回，則甲返回的時間為．6.5-18040=2（小時），所以甲返回的速度為90km/h，如圖所示．某學校為實施國家 "營養早餐 "工程，食堂用甲、乙兩種原料配制成某種營養食品，已知這兩種原料的維生素 C 含量及購買這兩種原料的價格如下表所示：甲種原料維生素 C 的含量和價格 乙種原料維生素 C 的含量（單位/千克） 600 400 原料的價格（元/千克） 9 5 （千克） 9 5 現欲配制 20 千克這種營養食品，要求每千克至少含有 480 單位的維生素 C。(1) 至少要購買多少千克原料 A？(2）設食堂購買這兩種原料的總成本為 y 元，y 與 x 的函數關系式為 y。並求總成本最少購買多少千克 A 材料？解：（1）根據題意，600x+400（20-x）≥480×20，x≥8。∴至少需要購買甲原料 8 千克，答：至少需要購買甲原料 8 千克．(2）根據題意得：y＝9x＋5（20-x），即y＝4x＋100，∵k＝4＞0，∴y隨x的增大而增大，∵x≥8，∴當x＝8時，y最小，y＝4×8＋100＝132，∴購買第壹種原材料8千克時，總成本最少，是132元，答：最少：購買第壹種原材料 8 千克，總費用最少，是 132 元。遊泳池經常需要清洗，圖中直線即為遊泳池水清洗過程中 "排水-清洗-灌水 "中水量y（m 3）與時間t（min）之間的函數關系式．(1）根據圖中提供的信息，得到整個水清洗過程中水量 y（m 3）與時間 t（min）之間的函數關系解析式；（2）問：排水、清洗、灌水各用多少時間？解：（1）排水階段：設解析式為：y=kt+b，圖中經過（0，1500），（25，1000），則：b=1500 25k+b=1000，解得：k=-20 b=1500，故排水階段的解析式為：y=-20t+1500（0＜t＜75）；清洗階段：y=0（75≤t＜95），灌水階段：設解析式為：y=at+c，圖中經過（195，1000），（95，0），則：195a＋c＝1000 95a＋c＝0，解得：a＝10 c＝-950，灌水階段解析式：y＝10t-950（95≤t≤245）；（2）∵排水階段解析式：y＝-20t＋1500；∴y＝-20t＋1500（0＜t＜75）；清洗階段：y＝0（75≤t＜95），灌水階段解析式：y＝-20t＋1500（0＜t＜75）0，0＝-20t＋1500，解得：t＝75，則排水時間為75分鐘，清洗時間為：95-75＝20（分鐘），∵根據圖象可得遊泳池儲水量為1500（米3），∴1500＝10t-950，解得：t＝245，故灌溉所用時間為：245-95＝150（分鐘）。如圖，直線 y=-4 3 x+8 分別作 x 軸、y 軸於 A、B 兩點，垂線平分線 AB 分別作 x 軸、y 軸於 C、D 兩點。(1）求點 C 的坐標； （2）求△BCD 的面積．解：（1）∵直線y＝-4 3 x＋8，分別交x軸和y軸於點A、B，當x＝0時，y＝8；當y＝0時，x＝6.∴OA＝6，OB＝8.在 Rt△AOB 中，AB＝OA2＋OB2＝10，∵CD 是線段 AB 的垂直平分線，∴AE＝BE＝5；∵∠OAB＝∠CAE，∠AOB＝∠AEC＝90°，∴△BCD 的面積．∠OAB＝∠CAE，∠AOB＝∠AEC＝90°，∴△AOB∽△AEC，∴OA AE＝AB AC，即6 5＝10 AC，∴AC＝25 3，∴OC＝AC-OA＝7 3，∴點 C 的坐標為（- 7 3 ，0）；（2）∠ABO＝∠DBE，∠AOB＝∠BED＝90°，∴△AOB∽△DEB，∴OB BE＝AB BD，即．8 5＝10 BD，∴BD＝25 4，∴S△BCD＝1 2 BDOC＝12×25 4×7 3＝175 24．(2012 新疆）庫爾勒某鄉甲、乙兩村盛產香梨，甲村有香梨 200 噸，乙村有香梨 300 噸，現將這些香梨運往丙、丁兩座冷藏庫。據了解，C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸，從A村到C、D兩地的費用分別為每噸40元和45元；從B村到C、D兩地的費用分別為每噸25元和32元。設從甲村運往丙倉庫的梨為 x 噸，甲、乙兩村運梨到兩倉庫的運輸費用分別為 y 甲元、y 乙元。(1）請妳填寫下表，並求 y 甲、y 乙與 x 之間的函數關系； C D 合計 甲 x 噸 200 噸 乙 300 噸 合計 240 噸 260 噸 500 噸 （2）當 x 取何值時，甲村少收多少運費？(3）怎樣調運運費才能使兩村運費之和最小？求最小值。解：（1）填入下列各式：C D 合計 A x 噸 （200-x）噸 200 噸 B （240-x）噸 （60+x）噸 300 噸 合計 240 噸 260 噸 500 噸 由題意可知：y甲=40x+45（200-x）=-5x+9000；y乙=25（240-x）+32（60+x）=7x+7920；（2）對於y甲=-5x+9000（0≤x≤200），∵k=-5＜0，∴此壹次函數是遞減函數，則當x=200噸時，y甲最小，最小值為-5×200+9000=8000（元）．(3）設兩村的運費之和為 W，則 W＝y A＋y B＝-5x＋9000＋7x＋7920＝2x＋16920 （0≤）x≤200），∵k＝2＞0，∴此壹次函數為增函數，則當 x＝0 時，W 有最小值，W 最小值為 16920 元。此時，調運方案為：從甲村運往丙倉庫 0 噸，運往丁倉庫為 200 噸，乙村應運往丙倉庫 240 噸，運往丁倉庫 60 噸。(2012雞西）如圖，拋物線y=-1 2 x 2+bx+c 與x軸交於A、B兩點，與y軸交於點C，且OA=2，OC=3.（1）求拋物線的解析式．(2）若點 D（2，2）是拋物線上的壹點，在拋物線的對稱軸上是否存在壹點 P，使得△BDP 的周長最小？若存在，求點 P 的坐標；若不存在，請說明理由。註：二次函數 y = ax 2 +bx+c （a≠0）的對稱軸是直線 x = - b 2a .解：（1）∵OA＝2，OC＝3，∴A（-2，0），C（0，3），∴c＝3，將A（-2，0）轉化為y＝-1 2 x 2＋bx＋3 得，-1 2 ×（-2）2-2b＋3＝0，解得b＝1 2，函數解析式為y＝-1 2 x 2＋1 2 x＋3；（2）如圖．連接 AD，與對稱軸 P 相交，由於點 A 與點 B 在對稱軸上，即 BP＋DP＝AP＋DP ，當 A、P、D *** 時直線 BP＋DP＝AP＋DP 最小。設 AD 的解析式為 y=kx+b，將 A（-2，0）、D（2，2）分別代入解析式，得-2k+b=0 2k+b=2，解得，k=1 2 b=1，所以線性解析式為 y=1 2 x+1、(-2＜x＜2），因為二次函數的對稱軸為 x＝-1 2 2×（- 1 2 ）＝1 2，則當 x＝1 2 時，y＝1 2×1 2 +1＝5 4，故 P（12，5 4）。(2010 本溪）荊州市 "建設社會主義新農村 "工作組到某縣大棚蔬菜生產基地指導農民建大棚種植蔬菜。通過調查得知：平均每公頃大棚建設要使用支架、薄膜等材料費用2.7萬元；購置滴灌設備這項費用（萬元）與大棚面積（公頃）的平方成正比，比例系數為0.9；另外每公頃蔬菜種植的種子、化肥、農藥等支出為0.3萬元。每公頃蔬菜平均每年可銷售 7.5 萬元。(1）菜農的基地 **** 建設大棚 x（公頃），壹年的收入（扣除建設和種植成本後）為 y（萬元），寫出 y 對 x 的函數關系式。(2）若某菜農預計當年種植大棚可獲得 5 萬元收入，工作組應建議他建多少公頃大棚。(零頭即可） （3）除種子、化肥、農藥投資只能當年受益外，其他設施 3 年內無需追加投資即可繼續使用。如果按 3 年計算，是否建設大棚面積越大效益越大？建設面積為多少時可以獲得最大效益？請妳幫助工作組為基地建設大棚提出合理化建議。解：（1）y=7.5x-（2.7x+0.9x 2+0.3x）=7.5x-2.7x-0.9x 2-0.3x=-0.9x 2+4.5x。(2）當-0.9x 2 + 4.5x = 5 時，整理得 9x 2 - 45x + 50 = 0，解得：x 1 = 5 3，x 2 = 10 3，從投入、占地與當年收入三個方面權衡，應建議建溫室 5 3 公頃。(3）設三年平均年收入為 Z（萬元） Z=7.5x-0.9x-0.3x 2 +0.3x = 7.5x-0.9x-0.3x 2 -0.3x = -0.3x 2 +6.3x = -0.3 （x-10.5） 2 +33.075 （10 分）並非越大收益越大。當大棚面積為 10.5 公頃時，可獲得最大收益。(11 分）建議：當大棚面積不超過 10.5 公頃時，可以擴大建設面積，增加收入。當溫室面積超過 10.5 公頃時，擴大面積會使收入減少。不能盲目擴大建設面積。大棚面積超過 21 公頃時，不僅不能收益，反而會虧本。如圖，拋物線 y = - 3 4 x 2 +3 與 x 軸交於點 A、點 B，直線 y = - 3 4 x + b 交於點 B、點 C，直線 y = - 3 4 x + b 與 y 軸交於點 E，（1）寫出直線 BC 的解析式。 2）求△ABC 的面積。(3) 若點 M 在直線 AB 上以每秒 1 個單位長度的速度從 A 運動到 B（不與 A、B 重合），同時點 N 在射線 BC 上以每秒 2 個單位長度的速度從 B 運動到 C。給定運動時間為 t 秒，寫出△MNB 的面積 S 隨 t 變化的函數關系式；另求 M 點運動多少時間時△MNB 的面積最大，最大面積是多少？解：（1）在 y = - 3 4 x 2 +3 中，設 y = 0 ∴ - 3 4 x 2 +3 = 0 ∴ x 1 = 2，x 2 = -2 ∴ A（-2，0），B（2，0）（2 分）且點 B 在 y = - 3 4 x +b 上 ∴ 0 = - 3 2 +b，b = 3 2 ∴ BC 的解析式為 y = - 3 4 x + 3 2 .(2 分） （2）由 y=- 3 4 x2+3 y=- 3 4 x+ 3 2 ，得 x1=-1 y1= 9 4 ，x2=2 y2=0 ．∴C（-1，9 4 ），B（2，0） ，（2 分） ∵AB=4，CD=9 4 ，∴S△ABC=1 2×4×9 4=9 2 ．(2 分）（3）過點 N 作 NP⊥MB 於點 P∵EO⊥MB ，∴NP∥EO ，∴△BNP∽△BEO ，∴BN BE＝NP EO （1 分）由直線 y＝-3 4 x＋3 2 可得．E（0，3 2 ）∴在△BEO 中，BO＝2，EO＝3 2 ，則 BE＝5 2 ∴ 2t 5 2＝NP 3 2 ，∴NP＝6 5 t（1 分）∴S＝1 2 .6 5 t （4-t）＝- 3 5 t 2＋12 5 t （0＜t＜4）＝- 3 5 （t-2） 2＋12 5 （1 分）∵該拋物線向下開口，∴當 t＝2 時，S 最大＝12 5 ∴當點 M 移動 2 秒時，△MNB 的面積達到最大值，最大值為 12 5 . （1 分）
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