解偏微分方程

這是壹個典型的只有壹個空間變量的熱傳導偏微分方程。

設解的形式為C(t，x)=X(x)*T(t)。

有嗎？C/？t=X(x)*T'(t)

C/？x=X'(x)*T(t)，？(?C/？x)/？x=X''(x)*T(t)

把常數d帶入原始方程，妳可以得到

X(x)*T'(t)=D*X''(x)*T(t)，分離變量可用。

T '(T)/[D * T(T)]= X ' '(X)/X(X)=-λ& lt；0(可以證明-λ≥0的解不存在)

∴ T'(t)=-λD*T(t) (1)

X''(x)=-λ*X(t) (2)

分開積分，妳可以得到

T(t)=A*e^(-λD*t) (3)

X(x)=Bsin(√λ*x)+Ccos(√λ*x) (4)

∴c(t,x)=x(x)*t(t)=a*e^(-λd*t)*[bsin(√λ*x)+ccos(√λ*x)]

C/？x=x'(x)*t(t)=a*e^(-λd*t)*√λ*[bcos(√λ*x)-csin(√λ*x)]

引入初始條件，可用

C/？x|(t,0)=a*e^(-λd*t)*√λ*[bcos(√λ*0)-csin(√λ*0)]=0(5)

c(t,l)=a*e^(-λd*t)*[bsin(√λ*l)+ccos(√λ*l)]=0(6)

聯立(5)和(6)可以求解。

B=0，√λ=(n+1/2)π/L

線性疊加後，可得到如下通解公式

C(t，x)=∑(1，+∞)kn*cos[(n+1/2)πx/l]*e^[-(n+1/2)？π?/L？*Dt]

其中kn = 2/l * ∫ < 0，L & gtCin*cos[(n+1/2)πx/L]*dx

PS:詳情請參考以下資料。其實最後幾步我也沒有完全理解。

http://zh . Wikipedia . org/wiki/% E7 % 86% b 1% E5 % 82% B3 % E5 % B0 % 8E % E6 % 96% B9 % E7 % A8 % 8B % E5 % BC % 8F

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