如果壹個微分方程中的未知函數只包含壹個自變量，則這個方程稱為常微分方程，也簡稱微分方程；如果多元函數的偏導數出現在壹個微分方程中，或者未知函數與幾個變量有關，未知函數對幾個變量的導數出現在方程中，那麽這個微分方程就是偏微分方程。
在科學技術飛速發展的今天，人們研究的很多問題用壹個自變量的函數來描述是不夠的，很多問題用多元的函數來描述。比如從物理角度來說，物理量有不同的性質，還有溫度、密度等。由稱為標量的數值來描述；速度、電場引力等。，不僅價值不同，而且有方向。這些量叫做矢量。物體在壹點的張力狀態所描述的量稱為張量，以此類推。這些量不僅與時間有關，還與空間坐標有關，要用多元變量的函數來表示。
需要指出的是，所有可能的物理現象都只能用壹些多元變量的函數來表示，比如介質的密度，但實際上壹點的密度是不存在的。而我們把壹點處的密度看作是體積無限縮小時物質質量體積比的極限，這是理想化的。介質的溫度也是如此。這樣就產生了壹個研究某些物理現象的理想多元函數方程，它是壹個偏微分方程。
微積分方程這門學科產生於18世紀。歐拉在他的著作中首先提出了弦振動的二階方程，隨後不久，法國數學家達朗貝爾也在他的《動力學》壹書中提出了壹個特殊的偏微分方程。這些作品在當時並沒有引起太多的關註。1746年，達朗貝爾在他的論文《張弦振動形成的曲線的研究》中提出要證明無窮多條不同於正弦曲線的曲線都是振動的模態。這樣，對弦振動的研究創造了偏微分方程學科。
與歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理問題，提出了理解彈性系統振動的壹般方法，對偏微分方程的發展產生了很大影響。拉格朗日還討論了壹階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。
偏微分方程在19世紀迅速發展。當時數學物理問題的研究蓬勃發展，許多數學家為數學物理問題的解決做出了貢獻。這裏應該提到法國數學家傅立葉。他年輕時是壹名優秀的數學家。在熱流的研究中，他寫了《熱的解析理論》，在書中他提出了三維空間的熱方程，即壹個偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展有很大影響。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什麽樣的？它包括什麽？這裏我們可以從壹個例子的學習來介紹壹下。
弦振動是壹種機械運動。當然，機械運動的基本定律是質點力學的F=ma，但弦不是質點，所以質點力學的定律不適用於弦振動的研究。但是，如果我們把弦分成幾個微小的片段，每壹個片段抽象地看成壹個粒子，那麽我們就可以應用粒子力學的基本定律。
細繩是指壹種又細又長的彈性物質。例如，弦樂器中使用的琴弦細長、柔軟且有彈性。演奏時，弦總是繃緊的，有壹種張力，比弦的重量大幾萬倍。當演奏者用薄片拉弦或用弓拉弦時，它只是因為接觸到壹段弦而振動，但由於張力的作用，它會傳播使整根弦振動。
通過微分分析，我們可以得到壹個偏微分方程，弦上壹點的位移就是這個點的位置和時間為自變量。偏方程的類型很多，包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程和雙曲型偏微分方程。上面的例子是弦振動方程，屬於數學物理方程中的波動方程，即雙曲型偏微分方程。
壹般偏微分方程有無窮多個解，但在解決具體物理問題時，必須選擇所需解，所以也必須知道附加條件。因為偏微分方程是同類現象共同規律的表達，僅僅知道這個共同規律不足以把握和理解具體問題的特殊性，所以就物理現象而言，每個具體問題的特殊性在於研究對象所處的具體條件，即初始條件和邊界條件。
以上面提到的弦振動為例。對於同壹根弦的弦樂器，如果壹個用細片撥弦，壹個用弓拉弦，發出的聲音是不壹樣的。原因是“拉”或“拉”的“初始”時刻的振動情況不壹樣，所以後續的振動情況也不壹樣。
天文學也有類似的情況。如果要通過計算來預測天體的運動，就必須知道這些天體的質量，而且除了牛頓定律的壹般公式之外，還必須知道我們所研究的天體系統的初始狀態，即這些天體在某壹起始時刻的分布及其速度。在解任何數學物理方程時，總會有類似的附加條件。
就弦振動而言，弦振動方程只是表達了弦的內點的力學規律，對於弦的端點並不成立，所以必須在弦的兩端給出邊界條件，即必須考慮研究對象所在邊界上的物理條件。邊界條件也稱為邊值問題。
當然，客觀現實中仍然存在“沒有初始條件的問題”，如靜電場問題(靜電場、穩定的濃度分布、穩定的溫度分布等。)和“沒有邊界條件的問題”。比如我們把重點放在字符串兩端不靠近的那壹段，就會變成壹個沒有邊界的抽象字符串。
數學上，初始條件和邊界條件稱為定解條件。偏微分方程本身表達了同壹類物理現象的共性，作為解決問題的基礎；定解條件反映了具體問題的個性，它提出了問題的具體情況。方程和定解條件合二為壹，稱為定解問題。
解決偏微分方程的定解問題，可以先求其通解，然後確定有定解條件的函數。但壹般來說，在實際中求通解並不容易，用確定的解條件來確定函數就更難了。
偏微分方程也可以用分離系數法求解，也稱傅立葉級數；也可以使用分離變量的方法，也稱為傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數法可以解決有界空間的定解問題，分離變量法可以解決無界空間的定解問題。拉普拉斯變換法也可用於求解壹維空間的數學物理方程的定解。拉普拉斯變換可以將方程轉化為常微分方程，同時也考慮了初始條件。解常微分方程然後反算就夠了。
需要指出的是，雖然偏微分方程的定解有各種各樣的解法，但不能忽視的是，很多定解問題由於某些原因無法嚴格求解，只能用近似的方法尋找符合實際需要的近似解。
常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是將定解問題轉化為變分問題，然後求變分問題的近似解；有限差分法是將定解問題轉化為代數方程，然後用計算機進行計算。還有壹種更有意義的模擬方法，用另壹個物理問題實驗研究代替壹個物理問題的定解。物理現象雖然性質不同，但在數學上抽象表現為同壹個定解問題。比如不規則物體內部穩定的溫度分布問題，在數學上就是拉普拉斯方程的壹個邊值問題。因為很難求解，所以可以對相應的靜電場或穩恒電流場做實驗研究，測量場各部分的電位，從而解決所研究的穩恒溫度場中的溫度分布問題。
隨著物理科學中所研究的現象在廣度和深度上的擴展，偏微分方程的應用範圍也越來越廣。從數學本身來看，偏微分方程的求解推動了數學在函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等方面的發展。從這個角度看，偏微分方程已經成為數學的中心。
數學的其他分支
算術、初等代數、高等代數、數論、歐氏幾何、非歐氏幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何、射影幾何、拓撲學、分形幾何、微積分、實變函數論、概率與數理統計、復變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學。