方程的解

有例子可以練習和解釋

希望對妳有用

等式

有未知數的方程叫做方程。

方程的基本性質是1:在方程兩邊同時加(或減)相同的數或相同的代數表達式，結果仍然是方程。

用字母表示:如果a = b，c是壹個數或壹個代數表達式。然後:

(1)a+c=b+c

(2)a-c=b-c

方程的基本性質2:方程兩邊乘以或除以同壹個不為0的數的結果仍然是方程。

(3)若a=b，則b=a(方程的對稱性)。

(4)若a = b，b = c，則a=c(方程的傳遞性)。

方程的壹些概念

方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。

解方程:解方程的過程叫做解方程。

解方程的基礎:1。班次術語；2.方程的基本性質；3.合並相似的項目；4.加減乘除各部分之間的關系。

解方程步驟:1。先算能算的；2.轉換-計算-結果

例如:3x=5*6

3x=30

x=30/3

x=10

移動項:改變方程中某些項的符號後，它們從方程的壹邊移動到另壹邊。基於方程1的基本性質，這種變形被稱為移位項。

有積分方程和分數方程。

積分方程:代數表達式方程兩邊都有未知數的方程叫積分方程。

分數方程:分母中有未知數的方程稱為分數方程。

壹元線性方程

人教版會學五年級數學上冊第四章，河北教版會學七年級數學下冊第七章，江蘇教版會學五年級數學第壹章。

定義:只有壹個未知數且未知數為1的積分方程稱為壹元線性方程。通常的形式是kx+b=0(k，b為常數，k≠0)。

通用解決方案:

1.分母方程兩邊同時乘以每個分母的最小公倍數。

4.壹般先去掉括號，再去掉中括號，最後去掉大括號。但有時可以根據情況確定順序，使計算簡單。根據乘法分布定律。

3.把有未知數的項移到方程的另壹邊，把其他項移到方程的另壹邊時別忘了換符號。

4.合並相似項將原方程轉化為ax=b(a≠0)的形式。

⒌系數:等式兩邊同時被未知數除的系數。

求方程的解。

同解方程:如果兩個方程有相同的解，則稱為同解方程。

方程的同解原理；

方程兩邊加或減相同的數或相同的方程得到的方程是與原方程相同的解方程。

2.方程兩邊不為0的同壹個數相乘或相除得到的方程是與原方程相同的解方程。

解決壹元線性方程應用問題的重要方法:

1.仔細審題。

對已知和未知量的分析。

【13】找等價關系。

4.設壹個未知數。

⒌序列方程

解方程。

⒎試驗

⒏寫了壹封回信

教學設計示例

教學目標

1.使學生掌握用線性方程解決簡單應用題的方法和步驟；並且會列舉壹維線性方程組求解的簡單應用問題；

2.培養學生的觀察能力，提高分析問題和解決問題的能力；

3.使學生養成正確思考的好習慣。

教學重點和難點

用壹元線性方程解簡單應用題的方法和步驟。

課堂教學過程設計

壹，從學生原有的認知結構提問

在小學算術中，我們學習了用算術解決實際問題的知識。那麽，用壹個線性方程能解決壹個實際問題嗎？如果能解決，怎麽解決？用壹元線性方程解決應用題與用算術方法解決應用題相比有什麽優勢？

為了回答這些問題，讓我們看看下面的例子。

例1某數的3倍減2等於某數和4之和，所以求某數。

(首先用算術解決，學生回答，老師寫在黑板上)

解1: (4+2) ÷ (3-1) = 3。

答:某個數字是3。

(其次，用代數方法解題，老師指導，學生口頭完成。)

解法二:設某數為x，則有3x-2 = x+4。

求解得到x = 3。

答:某個數字是3。

看例題1的兩個解法，很明顯算術法不好想，但設未知數、列方程、解方程求應用題解的方法有壹種化難為易的感覺，這也是學習用線性方程組解決應用題的目的之壹。

我們知道方程是壹個含有未知數的方程，方程代表壹個相等的關系。所以，對於壹道應用題中提供的任何壹個條件，首先要從中找出壹個相等的關系，然後把這個相等的關系表示成壹個方程。

這節課我們將通過實例講解如何求壹個相等關系，以及將這個相等關系轉化為方程的方法和步驟。

二、師生分析研究用壹元線性方程解決簡單應用題的方法和步驟。

例2在面粉倉庫中儲存的65，438+05%的面粉被運出後，還剩下42，500公斤。這個倉庫裏有多少面粉？

* * *師生分析:

1.本題給出的已知量和未知量分別是什麽？

2.已知量和未知量的相等關系是什麽？(原始重量-裝運重量=剩余重量)

3.如果原面粉有X公斤，面粉可以表示多少公斤？利用上面的等式關系，如何公式化方程？

上述分析過程可以列舉如下:

解:假設有x公斤面粉，那麽15% x公斤運出。

x-15%x=42 500，

所以x = 50,000。

答:以前有5萬公斤面粉。

至此，讓學生討論:本題中除了上述平等關系的表述外，還有其他表述嗎？如果有，是什麽？

(還有，原始重量=裝運重量+剩余重量；原始重量-剩余重量=裝運重量)

老師要指出的是:(1)這兩個相等關系的表述與“原重量-出貨重量=剩余重量”不同，但本質是壹樣的，可以任意選擇其中壹個組成方程；

(2)例2的方程求解過程比較簡單，學生要註意模仿。

根據例題2的分析求解過程，首先請大家思考壹下通過制作壹元線性方程解決應用題的方法和步驟。然後，通過提問給予反饋；最後，根據學生的總結，老師總結如下:

(1)仔細審題，透徹理解題意，即明確已知量、未知量及其關系，在題中用字母(如X)表示壹個合理的未知量；

(2)根據題意，找出壹個能表達應用題全部含義的等價關系(這是關鍵的壹步)；

(3)根據等式關系，正確列出方程，即列出的方程要滿足兩邊的量要相等；方程兩邊代數表達式的單位應該相同；問題中的條件要充分利用，壹個條件都不能遺漏或重復使用。

(4)求解列出的方程；

(5)考完試把答案寫清楚完整。這裏要求的檢驗應該是檢驗得到的解既能使方程成立，又能使應用問題有意義。

附:列方程時讓方程兩邊相等。

示例卷:

1.耐心填寫。(每題3分，* * * 30分)

1的倒數。-2是，倒數是，絕對值是。

2.如果|x|=6，那麽x = .3。計算:=

4.x比它的壹半大6，可數方程是。

5.壹艘潛艇正在-50m執行任務，正上方10m有壹條鯊魚在巡航，所以鯊魚的高度是米。

6.用“度、分、秒”表示:8.31度= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

7.1-2+3-4+5-6+…+87-88=

8.如果已知，則代數表達式的值為。

9.現在定義了壹個新的操作:然後。

10.觀眾席第壹排有a個座位，後面每排有1個座位，所以第N排有座位。

慎重選擇。(每題3分，* * * 30分)

11.神舟五號飛船總重量為7790000克，保留兩位有效數字，用除法符號表示為()。

甲、乙、丙、丁、八

12.已知2是方程3X+a=0關於X的壹個解，那麽A的值是()。

A.–6 b .–3 c .–4d .–5

13.如果它代表壹個有理數，那麽()的值。

A.可能是負的。b .不能是負數

C.肯定是正面的。它可能是消極的，也可能是積極的。

14.如果已知壹個數的平方，那麽這個數的立方就是()。

ABC或d或

15.下列公式正確的是()

a . x-(y-z)= x-y-z b .-(x-y+z)=-x-y-z

c . x+2y-2z = x-2(z+y)d .-a+c+d+b =-(a-b)-(-c-d)

16.直線A、B和C中，A ‖ B和A ‖ C，那麽直線A和直線C的關系是()。

a、相交b、平行c、垂直d、不確定性

17.在壹條直線上依次取A、B、C三點，使AB=9cm，BC=4cm。若O是線段AC的中點，則線段OB=( )cm。

A.2.5 B.1.5 C.3.5 D.5

18.等式()可以按照“X減8乘以Y的差等於8”的數量關系列出來。

a、x-8y=8 B、8(x-y)=8 C、8x-y=8 D、x-y=8×8

19.長方形的壹邊等於3a+2b，另壹邊比它大a-b，所以這個長方形的周長是()。

a . 14a+6b b . 7a+3b c . 10a+10b d . 12a+8b

20.為了解決老百姓看病難的問題，我國政府決定大幅降低藥品價格。某藥品價格在1999上漲30%，2003年下降70%。那麽這個藥在1999漲價前的價格是: ()

A.B.

C.D.

3.用心回答(***40分)

21.這個問題有三個小問題，每個4分。

(1)計算(2)解方程:

(3)首先解決，然後評估

22.已知壹個角的余角等於這個角的余角的4倍，求這個角的度數。(5分)

23.如圖，do⊥oe. ao⊥bc(5分)

(1)在不增加其他條件的情況下，請盡可能多地寫出關於圖中角度的相等關系(至少3個)；

(2)若∠ COE = 35，求∠AOD的度數。

24.下表是光明中學壹年級二班學生關於“父母回家後，妳會主動給他們倒杯水嗎？”主動倒水的有30人，偶爾倒水的有20人，不倒水的有10人。

(1)計算各扇區的圓心角被各類人占據的程度。(3分)

(2)做扇形統計圖，標註百分比。(3分)

25.圖①是壹個三角形，圖②是分別連接三角形三條邊的中點得到的；然後把圖②中間的小三角形的三條邊的中點連起來，得到圖③。

(1)圖(2)有_ _ _ _個三角形；圖③有_ _ _ _個三角形。(每個空格2分)

(2)按照上面的方法繼續。第壹個圖形中有多少個三角形？

(用代數表達式表達結論)(2分)

26.種壹批樹。如果每人種10棵樹，還有6棵樹沒種；如果每人種12棵樹，就會少6棵樹。有多少人種樹？有多少棵樹？(6分)

[編輯本段]二元壹次方程(組)

人教版將在下冊學習七年級數學，河北教育版將在下冊學習七年級數學第九章。

二元壹次方程的定義:指數為1的二元壹次積分方程稱為二元壹次方程。

二元線性方程組的定義:兩個含有兩個未知數的線性方程組稱為二元線性方程組。

二元壹次方程的解:使二元壹次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值稱為二元壹次方程的解。

二元線性方程組的解:二元線性方程組的兩種常見解稱為二元線性方程組的解。

通解、消元:將方程組中的未知數由多到少，逐壹求解。

有兩種方法可以消除元素:

代入消元法

例:解方程組x+y = 516x+13y = 89②。

解法:從x=5-y③的①取③到②，得6(5-y)+13y=89，得y=59/7。

將y=59/7帶入③得到x=5-59/7，即x=-24/7。

∴x=-24/7,y=59/7

這種解決方法就是替代消去法。

加減消元法

例:解方程組x+y=9① x-y=5②。

解:①+②，2x=14，即x=7。

把x=7帶入①，得7+y=9，得y=-2。

∴x=7,y=-2

這個解就是加減消元。

二元線性方程組有三種解法:

1.有壹套解決辦法。

比如方程組X+Y = 5 16x+13Y = 89 ②的解是x=-24/7，y=59/7。

2.有無數的解決方法。

比如方程組X+Y = 612x+2Y = 12②，因為這兩個方程實際上是壹個方程(也叫“方程有兩個相等的實根”)，所以這個方程組有無數組解。

3.無解

比如方程組X+Y = 412x+2Y = 10②，因為簡化方程②是x+y=5，與方程①矛盾，所以這類方程組無解。

[編輯本段]三元壹次方程

定義:類似於二元壹次方程，三個組合的壹次方程包含三個未知數。

三元線性方程組的解法:與二元線性方程組類似，采用消元法逐步消元。

典型問題分析:

為鼓勵某地區節約用水，自來水收費標準如下:每戶每月用水量不超過10噸的，按0.9元/噸收取；超過10噸不超過20噸的，按1.6元/噸收取；超過20噸的部分按2.4元/噸收取。壹個月內，用戶A比用戶B多付16元，用戶B比用戶C多付7.5元，已知用戶C用水不足10噸，用戶B用水超過10噸但不足20噸。問:用戶A、B、C每個月交多少水費(按整噸計算)？

解法:假設甲方用水x噸，乙方用水y噸，丙方用水z噸。

顯然，用戶A使用了超過20噸的水。

因此，甲方付款:0.9 * 10+1.6 * 10+2.4 *(x-20)= 2.4x-23。

支付:0.9 * 10+1.6 *(Y-10)= 1.6Y-7。

丙付款:0.9z

2.4x-23=1.6y-7+16

1.6y-7=0.9z+7.5

簡化

3x-2y=40 - (1)

16y-9z=145 - (2)

X=(2y+40)/3 from (1)

所以讓y = 1+3k，3

當k = 4，y = 13，x = 22時，代入(2)得到z=7。

當k=5，y=16，代入(2)，z無整數解。

當k=6，y=19，代入(2)，z無整數解。

因此，甲用水22噸，乙用水13噸，丙用水7噸。

甲方用水量為29.8元，乙方用水量為13.8元，丙方用水量為6.3元

[編輯本段]壹元二次方程

人教版會學九年級數學上冊，河北教版會學九年級數學第二十九章。

定義:壹個積分方程有壹個未知數，未知數的最高次為2。這樣的方程叫做壹元二次方程。

從壹次方程到二次方程的轉化是壹個質變。通常情況下，二次方程在概念和解法上要比壹次方程復雜得多。

壹般形式:ax ^ 2+bx+c = 0(a≠0)

有四種通用解決方案:

公式法(直接開平法)

4.匹配方法

[14]交叉乘法。

階乘分解法

由於本人精力有限，不舉例說明如何解決。希望有人能幫忙。

1，直接開平法:

直接開平法是用直接平方根求解壹元二次方程的方法。用直接開平法求解(x-m)2=n (n≥0)。

解為x = m的方程.

示例1。解方程(1)(3x+1)2 = 7(2)9 x2-24x+16 = 11。

解析:(1)這個方程用直接拉平法顯然很好做，(2)方程左邊完全平坦(3x-4)2，右邊= 11 >；0，所以

這個方程也可以用直接開平法求解。

(1)解:(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴ 3x+1 =(註意不要丟失解決方案)

∴x=

∴原方程的解是x1=，x2=。

(2)解法:9 x2-24x+16 = 11。

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=

∴x=

∴原方程的解是x1=，x2=。

2.匹配法:用匹配法求解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。

首先，將常數c移到等式的右邊:AX2+BX =-C

將二次項轉換為1: x2+x =-

方程兩邊加上壹階系數壹半的平方:x2+x+( )2=- +( )2。

等式左邊變成了完全平坦的方式:(x+ )2=

當b2-4ac≥0時，x+=

∴x=(這是根公式)

例2。用匹配法求解方程3x2-4x-2=0

解法:將常數項移到等式3x2-4x=2的右邊。

將二次項系數化為1: x2-x =

方程兩邊加上壹階項系數的壹半的平方:x2-x+( )2= +( )2。

公式:(x-)2=

直接平方:x-=

∴x=

原方程的解是x1=，x2=。

3.公式法:將壹元二次方程轉化為壹般形式，然後計算判別式的值△=b2-4ac。b2-4ac≥0時，放各項。

將系數A、B、C的值代入公式x=(b2-4ac≥0)得到方程的根。

例3。用公式法求解方程2x2-8x=-5

解法:把方程變成壹般形式:2x2-8x+5=0。

∴a=2，b=-8，c=5

B2-4ac =(-8)2-4×2×5 = 64-40 = 24 & gt；0

∴x= = =

原方程的解是x1=，x2=。

4.因式分解法:將方程變形為壹邊為零的形式，將另壹邊的二次三項式分解為兩個線性因子的乘積，這樣，

兩個線性因子分別等於零，得到兩個線性方程組。求解這兩個線性方程組得到的根是原方程組中的兩個。

根。這種解壹元二次方程的方法叫做因式分解。

例4。通過因式分解求解下列方程:

(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2 x2+3x = 0

(3) 6x2+5x-50=0(可選研究)(4)x2-2(+)x+4=0(可選研究)

(1)解法:(x+3)(x-6)=-8簡化排序。

X2-3x-10=0(該方程左邊是壹個二次三項式，右邊是零)。

(x-5)(x+2)=0(等式左側的因式分解因子)

∴x-5=0或x+2=0(轉換成兩個線性方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解:2x2+3x=0

X(2x+3)=0(通過提高公因數來因式分解等式的左側)

∴x=0或2x+3=0(轉換成兩個線性方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

註意:有些同學在做這類題時容易丟失x=0的解。應該記住，壹元二次方程有兩種解法。

(3)解:6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0(通過交叉乘法進行因子分解時，應特別註意符號)

2x-5 = 0或3x+10=0。

∴x1=，x2=-是原方程的解。

(4)解法:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4可分解為2.2，∴此題可因式分解)。

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2，x2=2是原方程的解。

二元二次方程:含有兩個未知數的積分方程，未知數的最高次為2。

[編輯此段]註意

壹般來說，n個未知數的線性方程是未知項數為1的方程，線性項的系數不等於0。

N維線性方程組是由若幹個N維線性方程組組成的方程組(壹維線性方程組除外)；

壹維A次方程是含有壹個未知數且未知項的最高次為A的方程(壹維線性方程除外)；

壹維A次方程是由若幹個壹維A次方程組成的方程(壹維線性方程除外)；

N維A次方程是含有N個未知數且未知項的最高次為A的方程(壹維線性方程除外)；

N維A次方程是由若幹個N維A次方程組成的方程(壹維線性方程除外)；

在方程(組)中，未知數比方程多的方程(組)稱為不定方程(組)，這樣的方程(組)壹般有無數個解。

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(尤其是法律和醫學領域)，建議妳咨詢相關領域的專業人士。這個條目對我有幫助

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