1900年，希爾伯特應邀出席在巴黎舉行的國際數學家大會，並發表了題為《數學問題》的重要演講。在這篇歷史性的演講中，首先，他提出了許多重要的觀點:
就像人類的每壹項事業都追求壹定的目標壹樣，數學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者們鍛煉了他們鋼鐵般的意誌，發現了新的思想，達到了更廣闊的自由境界。
希爾伯特特別強調主要問題在數學發展中的作用。他指出:“如果我們想對數學知識在不久的將來可能的發展有壹個概念，我們就必須回顧今天的科學所提出的問題，並希望在將來解決這些問題。”同時指出:“某些問題對壹般數學過程的深刻意義及其在研究者個人工作中的重要作用是不可否認的。只要壹個科學分支能夠提出大量的問題，它就充滿了活力，沒有問題就表明獨立發展的衰落或中止。”
他闡述了重大問題的特點，壹個好的問題應該具有以下三個特點:
清晰易懂；
雖然艱難，卻給人希望；
很深刻。
同時，他分析了學習數學問題經常遇到的困難和壹些克服困難的方法。正是在這次會議上，他提出了數學家們在新世紀應該努力解決的23個問題，即著名的“希爾伯特23問題”。
促進發展領域解決編號問題的情況
1連續統假設公理集合論1963、Paul J.Cohen證明了第壹個問題在以下意義下是不可解的。也就是說，在策梅洛-弗蘭科爾公理系統中，連續統假設的真實性是無法判斷的。
2算術公理的相容性數學基礎希爾伯特證明算術公理相容性的思想後來發展成為系統的希爾伯特計劃(“元數學”或“證明論”)，但哥德爾在1931年的“不完全定理”中指出，用“元數學”證明算術公理的相容性是不可能的。數學的兼容性問題至今沒有解決。
兩類高基四面體等體積的幾何基礎很快(1900)，希爾伯特的學生M.Dehn肯定回答了。
直線是兩點間最短距離的幾何基礎這個問題太籠統了。在希爾伯特之後，許多數學家致力於構造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四個問題上取得了很大進展，但問題並沒有完全解決。
5李群概念不定義群函數可微性假設的拓撲群論經過長時間的努力，這個問題終於被Gleason，Montqomery，Zipping等人在1952中解決了，答案是肯定的。
6物理公理的數學化處理數學物理學在量子力學、熱力學等領域取得了巨大的成功，但總的來說，公理化物理意味著什麽，仍然是壹個需要探討的問題。概率論的公理化是由A.H.Konmoropob等人建立的。
7某些數的無理數與超越超越數論1934 A.O.temohm和Schneieder獨立解決了這個問題的後半部分。
黎曼猜想在8個素數的數論壹般情況下仍然是壹個猜想。第八個問題中包含的哥德巴赫問題至今沒有解決。中國的數學家在這個領域做了壹系列出色的工作。
任意數域中最壹般互反定律的證明。類場理論已經被高木貞子(1921)和E.Artin(1927)解決了。
10丟番圖方程可解性的判別不定分析1970蘇聯和美國的數學家證明希爾伯特所期望的壹般算法不存在。
具有任意代數系數的二次二次理論H .哈塞(1929)和C. L. Siegel (1936，1951)在這個問題上得到了重要的結果。
將12 Abel域上的Kroneker定理推廣到任意代數有理數域。復數乘法的理論壹直沒有解決。
13用壹個只有兩個變量的函數解普通的七次方程是不可能的。方程論和實函數論的連續函數在1957年被蘇聯數學家否定。如果需要解析函數，這個問題仍然沒有解決。
14證明某完備函數系的有限代數不變量理論給出了壹個負解。
15舒伯特計數演算的嚴格的基礎代數幾何由於許多數學家的努力，使得純粹用代數的方法對待舒伯特演算的基礎成為可能，但舒伯特演算的合理性還有待解決。至於代數幾何的基礎，已經由B.L .範德瓦爾登(1938-40)和A .韋爾(1950)建立。
16代數的拓撲曲線曲面，曲面拓撲，常微分方程定性理論問題的前半部分，近年來得到了重要的結果。
正定形式的平方表達式域(實域)理論由Artin在1926中解決。
18用全等多面體空間晶群理論部分求解。
19正則變分問題的解是否必須分析橢圓型偏微分方程理論，在某種意義上已經解決了。
20壹般邊值問題橢圓型偏微分方程理論偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發展。
21具有給定值組的線性偏微分方程的存在性線性常微分方程的大規模理論已由希爾伯特本人(1905)和H.Rohrl(德國，1957)解決。
P.Koebe(德國，1907)已經解決了具有解析關系的壹個變量的單葉黎曼曲面的情況。
23變分法的進壹步發展希爾伯特本人和許多數學家都對變分法的發展做出了重要貢獻。
百年前的數學家大會與希爾伯特問題
熊為民
21世紀首屆國際數學家大會即將在北京召開。會給本世紀數學的發展帶來什麽？能否像20世紀第壹次國際數學家大會那樣影響數學發展的方向？壹個世紀前，數學家大會因為壹個人而被永遠載入史冊，因為他的壹份報告——戴維·希爾伯特和他的數學問題。
1900年，希爾伯特在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上提出了他著名的23個數學問題。在隨後的半個世紀裏，許多世界級的數學頭腦圍繞著他們。正如另壹位非常著名的數學家H. Weyl所說，“希爾伯特吹響了他的魔笛，成群的老鼠跟著他跳進了河裏。”難怪他的問題如此清晰易懂，有些問題又如此有趣，以至於很多外行都躍躍欲試，而解決其中的任何壹個，或者在任何壹個問題上取得重大突破，都會立刻名揚天下——中國的陳景潤在解決希爾伯特第八問題(即素數問題，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上做出了巨大貢獻。)而舉世矚目。人們在總結二十世紀，尤其是二十世紀上半葉數學的發展時，通常以希爾伯特的問題為航標。
事實上，這些問題大部分已經存在，希爾伯特並沒有首先提出來。但他站在了更高的層面，用更尖銳、更簡單的方式再次提出了這些問題，並指出了解決其中很多問題的方向。
數學領域有很多問題。哪些更重要，更基本？做出這樣的選擇需要敏銳的洞察力。為什麽希爾伯特能如此怒火中燒？數學史家、中國科學院數學與系統科學研究所研究員、《數學王國裏的希爾伯特——亞歷山大》壹書的譯者袁向東先生(與李文林先生合譯)認為，這是因為希爾伯特就是數學王國裏的亞歷山大！數學家可以分為兩類，壹類是擅長解決數學難題的，壹類是擅長對現有情況進行理論總結的，兩類都可以細分為壹等、二等、三等。希爾伯特在這兩方面都很擅長。他幾乎走遍了現代數學的所有前沿陣地，在許多不同的數學分支中留下了自己顯赫的名字，對數學發展的背景了如指掌，對提到的許多問題進行了深入的研究。他是數學領域的“王者”。
為什麽希爾伯特在大會上總結了數學的基本問題，而不是像普通人壹樣宣講他的壹個成果？袁向東告訴記者，這與另壹位偉大的數學家亨利·龐加萊(Henri Poincaré)有關，他在1897年召開的第壹屆國際數學家大會上做了壹個應用數學的報告。兩人都是當時國際數學界的雙子星，都是領軍人物。當然，也有壹定的競爭心理。由於龐加萊談到了他對物理與數學關系的壹般看法，希爾伯特為純數學做了壹些辯護。
龐加萊是法國人，希爾伯特是德國人，法德兩國有世仇，所以他們之間的競爭有國家競爭的味道。雖然他們非常尊重對方，這在他們看來並不明顯，但他們的學生和老師經常這麽看。
希爾伯特的老師費利克斯·克萊因是壹個民族意識很強的人。他非常重視德國數學的發展，想把國際數學界變成壹個橢圓——以前是以巴黎為圓心的圓；現在他想讓他的哥廷根城成為世界數學的中心，讓數學的世界成為壹個有兩個中心的橢圓。
在希爾伯特和密友赫爾曼·閔可夫斯基的幫助下，克萊因實現了他的目標——到1900年，希爾伯特已經和法國最偉大的數學家龐加萊齊名，克萊因本人和即將來到哥廷根的閔可夫斯基也是非常有影響力的數學家。其實他們在德國被稱為“無敵三教授”。
妳可以從壹個例子中想象他們的魅力。
有壹天，在講拓撲學的著名定理四色定理時，閔可夫斯基突然靈機壹動，於是對滿屋子的學生說:“這個定理還沒有被證明，因為至今只有壹些三流數學家研究過。現在該由我來證明了。”然後他拿起粉筆，當場證明了這個定理。上完這門課，他還沒完成證書。他繼續在接下來的課上作證，持續了幾個星期。終於，在壹個陰雨綿綿的早晨，他剛走上講臺，天空中就響起了霹靂。“上帝也被我的傲慢激怒了，”他說。“我的證明也是不完整的。”這個定理直到1994才被計算機證明。)
1912，龐加萊死了。世界數學的中心進壹步轉移到了哥廷根，數學世界似乎又變成了壹個圓——只是圓的中心換到了哥廷根。此時，哥廷根學派的名聲如日中天，年輕數學家中流行的口號是“收拾行李，去哥廷根吧！”
壹個世紀過去了，希爾伯特列出的23個問題中，大約有壹半得到了解決，剩下的壹半中的大部分也取得了重大進展。但是希爾伯特本人沒有解決任何壹個問題。有人問他為什麽不解決自己的問題，比如費馬大定理。
費馬把定理寫在了壹頁紙的空白處，他還聲稱自己想出了壹個絕妙的證明，可惜空白處不夠大，寫不下來。希爾伯特的回答也很幽默:“我不想殺這只只會下金蛋的母雞”——德國壹位企業家成立基金會，獎勵第壹個解決費馬大定律的人。希爾伯特當時是基金會的主席，用基金的利息每年邀請優秀的學者到哥廷根講學，所以對他來說，費馬大定律就是只會下金蛋的母雞。費馬定律直到1997才解決。)
在列舉23個問題之前，希爾伯特已經被公認為國際數學領域的領軍人物，在數學的多個領域取得了許多重要的成就。他的其他貢獻，如他的公理化思想、形式主義思想、《幾何基礎》壹書等，對20世紀數學的發展產生了深遠的影響。
1 265438+20世紀七個數學問題
21世紀的七個數學問題
近日，2000年5月24日，美國馬薩諸塞州克萊數學研究所在巴黎法蘭西學院宣布了壹個被媒體炒得沸沸揚揚的事件:懸賞100萬美元，征集七道“千年數學難題”。下面就簡單介紹壹下這七個難題。
“千年問題”之壹:P(多項式算法)對NP(非多項式算法)
在壹個星期六的晚上，妳參加了壹個盛大的聚會。很尷尬，妳想知道這個大廳裏有沒有妳已經認識的人。妳的主人建議妳壹定要認識坐在靠近甜點盤角落裏的羅斯女士。妳不需要壹秒鐘就能掃壹眼那裏，發現妳的主人是對的。但是，如果沒有這樣的暗示，妳必須環視整個大廳，壹個壹個地看每個人，看看有沒有妳認識的人。生成問題的解決方案通常比驗證給定的解決方案花費更多的時間。這是這種普遍現象的壹個例子。同樣，如果有人告訴妳，13、717、421這幾個數可以寫成兩個更小的數的乘積，妳可能不知道該不該相信他，但如果他告訴妳可以因式分解成3607乘以3803，那麽妳就可以用袖珍計算器輕松驗證這壹點。無論我們是否熟練地編寫了壹個程序，確定壹個答案是否可以用內部知識快速驗證，或者在沒有這種提示的情況下需要花費大量時間來解決，這被視為邏輯和計算機科學中最突出的問題之壹。是StephenCook在1971中陳述的。
“千年難題”之二:霍奇猜想
二十世紀的數學家找到了壹種研究復雜物體形狀的有效方法。基本的想法是問我們可以在多大程度上通過將簡單的幾何積木與增加的維度粘合在壹起來塑造壹個給定的物體。這項技術變得如此有用，以至於可以用許多不同的方式推廣；最後，它導致了壹些強大的工具，這些工具使數學家在對他們在研究中遇到的各種對象進行分類方面取得了很大的進步。不幸的是，在這種概括中，程序的幾何起點變得模糊了。某種意義上，必須增加壹些沒有任何幾何解釋的部分。霍奇猜想斷言，對於所謂的射影代數簇，壹個叫做霍奇閉鏈的分量實際上是叫做代數閉鏈的幾何分量的(有理線性)組合。
“千年之謎”之三:龐加萊猜想
如果我們在蘋果表面周圍拉伸橡皮筋，那麽我們可以慢慢移動它，把它收縮成壹個點，而不會弄斷它或讓它離開表面。另壹方面，如果我們想象同樣的橡膠帶在輪胎胎面上以適當的方向拉伸，沒有辦法在不破壞橡膠帶或輪胎胎面的情況下將其收縮到壹點。我們說蘋果表面是“單連通”的，但輪胎胎面不是。大約壹百年前，龐加萊就知道二維球面在本質上可以用簡單連通來表征，他提出了三維球面(四維空間中距離原點單位距離的所有點)的相應問題。這個問題立刻變得異常困難，從此數學家們壹直在為之奮鬥。
第四個“十億十億十億個難題”:黎曼假設
有些數具有特殊的性質，不能用兩個較小數的乘積來表示，例如2，3，5，7等。這樣的數叫做質數；它們在純數學及其應用中起著重要的作用。在所有自然數中，這種素數的分布不遵循任何規律；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率與壹個構造良好的所謂黎曼ζ函數z(s$)的行為密切相關。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在壹條直線上。這已經在最初的1，500，000，000個解決方案中得到驗證。證明它適用於每壹個有意義的解，將會揭開圍繞素數分布的許多謎團。
“千百千百個謎題”之五:楊磨坊的存在與質量差距。
量子物理定律是為基本粒子世界建立的，就像牛頓經典力學定律是為宏觀世界建立的壹樣。大約半個世紀前，楊振寧和米爾斯發現量子物理學揭示了基本粒子物理學和幾何對象數學之間的驚人關系。基於Young-Mills方程的預言已經在世界各地實驗室的以下高能實驗中得到證實:Brockhaven、斯坦福、CERN和築波。然而，他們描述重粒子並且數學上嚴格的方程沒有已知解。特別是“質量間隙”假說，這個假說被大多數物理學家所證實，並被應用於解釋誇克的不可見性，但它從來沒有得到令人滿意的數學證明。在這個問題上的進展需要在物理學和數學中引入基本的新概念。
第六個“千年難題”:Navier-Stokes方程的存在性和光滑性
起伏的波浪跟隨我們的船蜿蜒穿過湖面，洶湧的氣流跟隨我們現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家確信，微風和湍流都可以通過理解納維爾-斯托克斯方程的解來解釋和預測。雖然這些方程寫於19世紀，但我們對它們的了解仍然很少。挑戰是在數學理論上取得實質性的進展，這樣我們才能解開隱藏在納維爾-斯托克斯方程中的謎團。
“千年之謎”之七:伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想。
數學家們總是著迷於x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2等代數方程的所有整數解的刻畫。歐幾裏德曾經給出了這個方程的完整解，但是對於更復雜的方程，就變得異常困難。事實上，作為余。V.Matiyasevich指出，希爾伯特的第十個問題是無解的，即沒有壹個通用的方法來確定這樣的方法是否有整數解。當解是阿貝爾簇的壹個點時，貝赫和斯韋諾頓-戴爾猜想有理點群的大小與在點s=1附近的相關Zeta函數z(s)的行為有關。特別是這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0，有無窮多個有理點(解)；反之，如果z(1)不等於0，則這樣的點只有有限個。