例如，在均勻傳熱物體中，溫度u滿足以下等式:
(1)
這樣壹個包含未知函數及其偏導數的方程叫做偏微分方程。壹般來說，如果是自變量，以U為未知函數的偏微分方程的壹般形式是
(2)
這裏f是其自變量的函數，所含偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階。
由幾個偏微分方程組成的方程組稱為偏微分方程組，其未知函數也可以是幾個。當方程的個數超過未知函數的個數時，稱偏微分方程組超定；當方程的個數小於未知函數的個數時，稱為欠定。
如果壹個偏微分方程(組)關於所有未知函數及其導數都是線性的，則稱為線性偏微分方程(組)。否則稱為非線性偏微分方程(組)。在壹個非線性偏微分方程(組)中，如果對未知函數的最高階導數是線性的，則稱為擬線性偏微分方程(組)。
設ω是自變量空間r中的壹個區域，u是在這個區域中定義的| α |階導數連續的函數。如果能使方程(2)在ω上相等，那麽就說U是方程在ω上的經典意義下的解，簡稱經典解。沒有誤解，就叫解決。
偏微分方程理論研究壹個方程(組)是否有解(解的存在性)，有多少解(解的唯壹性或自由度)，解與解的各種性質等。，並試圖盡可能用偏微分方程解釋和預見自然現象，並將其應用於各種科學和工程技術。偏微分方程理論的形成和發展與物理學和其他自然科學的發展密切相關，相互促進。數學的其他分支，如分析、幾何、代數、拓撲學等理論的發展也對偏微分方程產生了深遠的影響。
另壹個概述
在科學技術飛速發展的今天，人們研究的很多問題用壹個自變量的函數來描述是不夠的，很多問題用多元的函數來描述。比如從物理角度來說，物理量有不同的性質，還有溫度、密度等。由稱為標量的數值來描述；速度、電場引力等。，不僅價值不同，而且有方向。這些量叫做矢量。物體在壹點的張力狀態所描述的量稱為張量，以此類推。這些量不僅與時間有關，還與空間坐標有關，要用多元變量的函數來表示。
需要指出的是，所有可能的物理現象都只能用壹些多元變量的函數來表示，比如介質的密度，但實際上壹點的密度是不存在的。而我們把壹點處的密度看作是體積無限縮小時物質質量體積比的極限，這是理想化的。介質的溫度也是如此。這樣就產生了壹個研究某些物理現象的理想多元函數方程，它是壹個偏微分方程。