我們已經知道數學期望反映了隨機變量的平均值。在很多實際問題中，知道這個平均值就夠了，但是數學期望畢竟只能反映平均值，有很大的局限性。在某些情況下，僅僅知道平均值是不夠的，或者以手表的日常走時誤差為例。如果有兩個品牌的手表，它們的每日走時誤差分別為，每個都有以下分布列表:
gjzsj
很容易驗證，然後就有了= =0。從數學預期上，我們無法說出這兩個品牌手表的優劣。如果我們仔細觀察這兩個分布表，我們會得出這樣的結論:a品牌的手表比B品牌的好。保證能被看到嗎？
先討論品牌a，已知=0。從分布表可以得知，大部分手表的日走時誤差為0，少量手表分散在兩側。再看品牌b，雖然也有=0，但是只有少量的手表分散在兩邊，分散的範圍比品牌A大，從這個角度來看，品牌A的手表每天的走時誤差是比較穩定的，所以做了品牌A的對比。對於這樣的評論，讀者可能會覺得有些啰嗦。那麽，是否可以用壹個數值指標來衡量壹個隨機變量與其期望值的偏差呢？這正是本節要討論的問題。
如果是要討論的隨機變量，就是它的數學期望，那麽|-|
測量壹個隨機變量與其數學期望的偏差，但是絕對值運算有很多不便，所以人們用它來測量這個偏差。但它是壹個隨機變量，要用它的平均值來衡量與其平均值的偏差。因此，引入以下定義。
定義2.6設其為離散隨機變量，數學期望存在。如果存在，則稱為隨機變量的方差，記為gjzsj
方差的平方根也稱為標準差或根方差，通常記為。標準差在實際問題中的應用非常廣泛，它的優點是與具有相同的維數。
如果隨機變量分布列表
gjzsj
那麽可以從定理2.2得到
gjzsj
(2.30)
這是計算方差的常用公式。
現在，我們來計算壹下上述兩個品牌手表的每日走時誤差的方差，因為= =0，利用上面的公式，有
顯然有
當然，說前壹段就簡潔多了。所以數學期望和方差是隨機變量的壹些基本特征的數值符號，所以常稱為隨機變量的數值特征。隨機變量還有很多其他的數值特征，數學期望和方差是兩個最基本最常用的數值特征。gjzsj
例2.17如果它服從帶參數的泊松分布，試著找壹下。
解決方案被稱為=，並且
gjzsj
從(2.30)中獲得
可以看出，泊松分布的隨機變量的方差就是分布的參數。
從方差的定義可以知道，方差本身也是壹個數學期望，所以從數學期望的性質可以發現，方差具有以下共同的基本性質:
(1)如果c是常數，DC = 0；
(2)如果c是常數，則
(3)如果，是兩個獨立的隨機變量並且存在，那麽gjzsj
(2.31)
性質(1)和(2)的證明很容易。下面是財產的證明(3)，我們有
因為獨立於，所以
所以有
性質(3)被證明。性質(3)也可以推廣到n維隨機變量的情況。如果有n個獨立的隨機變量並且它們都存在，那麽就有
(2.31 )
找到
如果隨機變量服從0-1的分布，已知為=P，那麽就很容易知道有gjzsj。
(q=1-p)