聚類分析法，應用於地下水，是在各種指標和質量等級標準的約束下，通過對樣品各種指標的監測值進行綜合聚類，來判斷地下水的質量等級。常見的聚類分析方法有系統聚類、模糊聚類和灰色聚類。
(壹)系統聚類法
系統聚類法的主要步驟是數據標準化、相似性統計計算和聚類。
1.數據標準化
在聚類分析中，聚類元素的選擇非常重要，它直接影響分類結果的準確性和可靠性。在地下水質量研究中，聚類對象往往由多種元素組成。不同元素的數據可能差異很大，會對分類結果產生影響。因此，當分類元素的對象確定後，在進行聚類分析之前，應該先對聚類元素的數據進行標準化處理。
假設將考慮的水質分析點(g)作為聚類對象(有m個)，用I表示(I = 1，2，...，m)；將影響水質的主要因子作為聚類指標(有n個)，用j (j = 1，2，…，n)表示，其對應的因子數據可在表4-3中給出。在聚類分析中，對聚類元素的數據進行標準化的方法有很多，壹般采用標準差法和極差法。
表4-3集群對象和元素數據
標準化第j個變量就是把xij轉化成x'ij。
(1)求和標準化
區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究
通過這種標準化方法獲得的新數據x'ij滿足以下要求。
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(2)標準差標準化
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哪裏:；
用這種標準化方法得到的新數據x'ij，每個元素的平均值為0，標準差為1，即有
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(3)靶場標準化
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這樣標準化得到的新數據，每個元素的最大值為1，最小值為0，其余值都在[0，1]的閉合區間內。
上式中:xij為j變量的測量值；Xj是J變量的樣本平均值；Sj是樣本的標準差。
2.相似性統計
系統聚類方法需要壹個能夠反映樣本間相似性的數值指標，需要找到能量相似性的統計量，這是系統聚類方法的關鍵。
相似性統計量壹般用距離系數和相似系數來計算。距離系數將樣本視為多維空間中的壹個點，用點與點之間的距離來表示研究對象的密切關系。距離越小，關系越近。相似系數的值表示樣本和變量之間的相似性。
(1)距離系數
經常使用歐幾裏德絕對距離，其中I樣本和J樣本之間的距離dij是
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dij越小，I和J樣本越相似。
(2)相似系數
常見的相似系數有夾角余弦和相關系數，計算公式為
1)夾角的余弦
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在公式(4-20)中:-1≤cosθij≤1。
2)相關系數
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其中dij是I樣本和J樣本之間的歐幾裏德距離；Cosθij是I樣本和J樣本的相似系數；Rij是I樣本和J樣本之間的相關系數；Xik是第I個樣本的第k個因子的測量值或標準化值；Xjk是第J個樣本的第k個因子的測量值或標準化值；是第I個樣本第k個因子的平均值，；是第J個樣本的第k個因子的平均值，；n是樣本數；k是因子(變量)的數量。
3.使聚集
相似度統計量選定後，根據計算結果構造距離或相似系數矩陣(n×n)，然後通過壹定的方法將N個樣本組合成不同的分類單元，進行類的組合，即最相似的樣本歸為壹組，再將次相似的樣本歸為分類級別較高的組。聚類主要有直接聚類法和距離聚類法(最短距離聚類法和最遠距離聚類法)。
(1)直接聚類法
直接聚類法是壹種簡單的聚類方法，它是基於距離或相似系數矩陣的結構壹次性得到結果。它首先將每個分類對象單獨作為壹個類，然後按照距離最小或相似系數最大的原則依次選擇壹對分類對象，形成壹個新的類。如果壹對分類對象碰巧屬於兩個類別，則這兩個類別合並為壹個類別。每次合並時，都會刪除與對象列順序相同的行。n-1次後，將所有分類對象歸為壹類，最後按照歸並順序做出聚類分析譜系圖。
(2)距離聚類法
距離聚類法包括最短距離聚類法和最遠距離聚類法。最短距離聚類法具有空間可壓縮性，而最遠距離聚類法具有空間可擴展性。這兩種聚類方法對類間距離的計算可以用壹個統壹的公式表示:
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當γ=-0.5時，公式(4-22)中計算類之間的距離最短；當γ=0.5時，方程(4-22)中計算類之間的距離最遠。
最短最遠距離法是從原n×n距離矩陣的非對角元素中找出dpq=min(dij)或dpq=max(dij)，將分類對象Gp和Gq合並成壹個新的類Gr，然後根據計算公式:
dpq=min(dpk，dqk)(k≠ p，q) (4-23)
dpq=max(dpk，dqk)(k≠ p，q) (4-24)
計算原類和新類之間的距離，從而得到壹個新的距離矩陣的階(n-1)；然後從新的距離矩陣中選擇最小或最大的dij，Gi和Gj合並成壹個新的類。然後計算每個類與新類之間的距離，直到每個子類對象被歸為壹類。最後整合整個聚類過程，做出最短距離或最遠距離聚類譜系圖(圖4-1)。
圖4-1地下水質量評價聚類譜系圖
(二)模糊聚類法
模糊聚類方法是普通聚類方法的擴展，是在聚類方法中引入模糊概念而形成的。該方法評價地下水質量的主要步驟包括數據標準化、校正和聚類(傅等，1987)。
1.數據標準化
在聚類的過程中，由於所研究變量的絕對值不同，直接用原始數據進行計算會突出絕對值大的變量，降低絕對值小的變量的作用。特別是在模糊聚類分析中，模糊運算要求數據必須壓縮在[0，1]之間。因此，模糊聚類計算的首要任務是解決數據標準化問題。數據標準化的方法見系統聚類分析。
2.校準和聚類
所謂校準，就是計算被分類對象之間的相似系數rij，從而確定論域集合u上的模糊相似關系Rij，相似系數的計算與系統聚類分析相同。
聚類就是給不同的置信度λ (λ ∈ [0，1])在建立的模糊關系矩陣Rij上截取，然後得到不同的分類。
聚類方法有很多種，包括基於模糊等價關系的聚類和基於最大樹的聚類。
(1)模糊等價關系法
所謂模糊等價關系是指自反性(rii=1)、對稱性(rij=rji)和傳遞性(R R？r)模糊關系。
基於模糊等價關系的模糊聚類分析方法的基本思想是，由於模糊等價關系R是論域集合U與其自身的直積U×U上的模糊子集，所以R可以分解。當R被λ-level截時，U×U的截普通子集Rλ是U上的普通等價關系，即得到U中的壹類分類對象元素。當λ從1減小到0時，得到的分類由細變粗，逐漸合並，形成動態聚類譜系圖(徐建華，1994)。這種分析方法的具體步驟如下。
第壹步:模糊相似關系的建立，即子對象間相似統計量的計算。
第二步:將模糊相似關系R轉換成模糊等價關系R’。模糊等價關系要求自反性、對稱性和傳遞性。壹般來說，模糊相似關系滿足自反性和對稱性，但不滿足傳遞性。因此，有必要利用傳遞閉包的性質將模糊相似關系轉化為模糊等價關系。變換方法是對相似關系R進行平方，即
R2=R R
R4 = R2·R2
這樣的計算壹直持續到:R2K = RK RK = RK，那麽R’= RK就是壹個模糊等價關系。
第三步:不同割集層次下的聚類。
(2)最大樹聚類方法
基於最大樹的模糊聚類分析方法的基本思想是:最大樹是沒有回路的連通圖(圖4-2)；選擇λ級截取分支，截掉權重低於λ的分支，形成若幹個孤立的子樹，每個子樹就是壹個類的集合。這種分析方法的具體步驟如下。
圖4-2最大集群生成樹圖
第壹步是計算分類對象之間的模糊相似性統計rij，並構造最大樹。
以所有被分類的對象為頂點，當兩點之間的rij不等於0時，可以用樹幹連接兩點，這種連接按照rij由大到小的順序進行，從而形成最大的樹。
第二步:最大樹聚類分析。
選取某個λ值作為割集，將小於λ值的樹的主幹剪掉，使連通的節點形成壹個類，即子樹。當λ從1到0時，得到的分類由細變粗，各節點代表的分類對象逐漸融合，從而形成動態聚類譜系圖。
在聚類方法中，模糊聚類方法相對於普通聚類方法有很大的突破，簡化了操作過程，使聚類方法更容易掌握。
(3)灰色聚類方法
灰色聚類是根據不同聚類指標的白化數，將聚類對象按若幹灰色類進行分類，從而判斷聚類對象屬於哪壹類。
灰色聚類應用於地下水質量評價，以考慮的水質分析點為聚類對象，用I表示(I = 1，2，…，n)；將影響水質的主要因子作為聚類指標，用j表示(j = 1，2，...，m)，並將水質等級作為聚類灰數(灰類)，用k (k = 1，2，3)表示，即第壹、二、三灰類(羅定貴等，65433)。
灰色聚類的主要步驟是:確定聚類的白化數，確定每個灰色白化函數fjk，計算標定的聚類權重ηjk，計算聚類系數，根據極大值原理確定聚類對象分類。
1.確定聚類白化數。
當各灰類的白化數相差較大時，為了保證各指標的可比性和等效性，需要對白化數進行無量綱化處理。即給定第I個聚類對象中第j個聚類索引的白化數，I = 1，2，…，n；j=1，2，…，m .
2.確定每個灰度白化函數。
建立效率函數fij(x)，滿足所有指標，水平區間為最大白化函數值(等於1)。離這個區間越遠，白化函數越小(趨於0)。根據監測值Cki，對應的白化函數值fjk(Cik)，j = 1，2，...，m可以在圖上分解出來(圖4-3)；k=1，2，3 .
3.找到校準組權重
根據公式(4-25)，計算聚類權重ηjk的矩陣(n×m)。
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其中ηjk是第j個指標對第k個灰類的權重；λjk是增白函數的閾值(取決於標準濃度)。
圖4-3增白功能圖
註:圖4-3中的白化函數f (x) ∈ [0，1]有以下特點:①平頂部分表示這個量的最優程度。這部分的值為最佳值，即系數(權重)為1，f(x)=max=1(峰值)，x ∈ [x2，x3]。②白化函數是單調變化的，左邊部分f(x)=L(x)單調增加，x∈(x1，x2]，稱為白化左支函數；右邊部分f(x)=R(x)，單調遞減，x ∈ [x3，x4]，稱為白化右支函數。③白化函數的左右分支是對稱的。④美白功能，簡單來說，壹般是直線。⑤壹般來說，美白功能的起點和終點是由人的經驗決定的。
4.求聚類系數
σik=∑fjk(dij)ηjk (4-26)
其中:σik是第I個聚類對象屬於第k個灰類的系數，I = 1，2，…，n；k=1，2，3 .
5.根據最大值原則確定聚類對象的分類。
用σik構造聚類向量矩陣，如果行向量最大，則確定k樣本屬於J級的對應級別。
用灰色聚類法評價地下水質量，可以最大限度地避免人為因素造成的“失真失效”現象。
聚類法的計算相對復雜，但計算結果與地下水質量標準等級明顯對應，可以全面反映地下水質量，也是在更高層次上定量研究地下水質量的重要方法。