等軸晶的對稱特征是都有4L3；在不同的晶體類型中，選擇三個互相垂直且相等的l4或L2作為晶軸。晶體常數表征為a=b=c，α = β = γ = 90。
(1)六面體晶體(m3·m):其對稱元素的赤平投影如圖5-15所示。投影圖的最小重復單元是以L4、L3和L2為角的三角形(圖中用斜線標出)。據此可以看出，單形的本原晶面與對稱元素和晶軸(三角形的三個角、三角形的三條邊和三角形內部)之間存在七種相對位置* * *關系，由此可以導出七種單形。當原晶面垂直於L4、L3和L 2時，可以分別導出立方體{100}、八面體{111}和菱形十二面體{110}，它們在固定的投影位置(分別在重復三角形的三個角的頂部)當原晶面垂直於對稱平面時，可能有三種位置，它們的投影點是導出的單形是六面體{hk 0}，四邊形八面體{hkk}和三角形八面體{hhl}，這三種單形的投影點可以分別沿最小重復三角形的三條邊移動，使單形的面角和晶面指數也相應變化，這就是變形。比如四面體{hkk}的投影點可以沿著以L 4和L 3為端點的三角形的壹邊移動，晶面指數可以是{211}、{311}(見圖5-16)等。，平面角度也會隨之變化。如211∧21 = 48 11 ' 30 "，211∧121 = 33。311∧31 = 35° 5′45 ″, 311∧131 = 50° 28′45″晶面指數{hkk}和形狀的變化介於立方體{100}和八面體{ 1108當索引k值逐漸增大到k=h時，形狀數變為{168)。同樣，三角形八面體{hhl}在菱形十二面體{110}和八面體{ 11 }之間變化，六面體{hk 0}在立方體{100}和菱形十二面體{660}之間變化。六面體{hkl}，投影點在三角形裏，當然是變形。它的晶面指數和角度變化範圍較大，晶面不垂直也不平行於任何元素，這是這種晶類的壹般形狀。
圖5-15六角八面體晶體對稱元素和單形的赤平投影
(2)六面體晶體:與六八面體晶體相比，消除了(100)、(010)、(001)三個相互垂直、相互平行的對稱平面。從赤平投影(圖5-17)中不難看出，由於這三個對稱面的取消，被它們分割的八個象限的晶面會交替發展。這樣，除了三個單形立方體{100}、菱形十二面體{110}和四面體{hk 0}的投影點位於象限界面(即晶面垂直的對稱面)外，其他四個單形只能發展為半面像。也就是形狀號為{111}、{hkk}、{hhl}和{hkl}的單形，原來的六角八面體晶體是八面體、四角八面體、三角八面體和六面體，現在發展成它們的半面體、四角三面體和四面體。比如八面體{111}有八個晶面，而它的半類正四面體{111}和負四面體各有四個晶面(圖5-18)。值得指出的是，正反形狀和左右形狀的區別，只是方位不同，形態沒有區別。有時正形和負形都可以存在於同壹個晶體上，形成壹個聚[圖4-1 (a)]，但它們晶面的性質不同，即正負四面體的聚不等於八面體。
圖5-16四方八面體(顯示兩種變形)
圖5-17六方晶體對稱元素和單形的赤平投影
(3)民間復雜的十二面體晶體(m3):與六面體晶體相比，取消了軸間(兩個晶軸之間)的六個對稱面和六個二次軸，使原來作為晶軸的三個四次軸變成了二次軸。從赤平投影(表4-2)中不難看出，立方體{100}，八面體{111}，菱形十二面體{110}和六八面體{圖5-11 }描繪了五角十二面體的正反形狀。
圖5-18正四面體(A)、負四面體(B)、八面體和四面體晶面比(C)
多晶型分析實例在圖5-19中，列出了六方八面體晶體(a)、(b)、(c)、民間復雜十二面體晶體(d)、(e)和六方四面體晶體(f)的多晶型。
2.四方晶系
以唯壹的四次軸為Z軸，垂直於Z軸或對稱面法線或晶體邊緣方向的二次軸為X軸和Y軸。晶體常數的特征是a=b≠c，α = = γ = 90。
復雜四方雙錐晶體(4/mmm):該晶體類的對稱元素與單形原晶面的赤平投影如圖5-20所示，最小重復單元用陰影標出，即以露點L4和兩個L2為角的三角形。單形本原晶面的投影點有七種可能的位置，分別是重復三角形的三個角{001}、{110}和{100}，三角形內部的三條邊{hk 0}、{hhl}、{h 0 l}和{hkl}。垂直於Z軸的晶面的投影點位於基圓的圓心，導出單形平行雙面{ 001 }；第壹方柱{110}由L 2的晶面垂直於X軸和Y軸夾角的平分線導出；垂直於X軸(或Y軸)的晶面通向第二個方柱{ 100 }；這三種單純形的投影點都固定在重復三角形的角的頂點上進行整形。平行於Z軸，其投影點位於方柱{110}和{100}之間的基圓上的晶面，通向單形復方柱{ HK0 }；第壹個四邊形雙錐{hhl}(包括{110})來源於與Z軸傾斜的晶面，投影點位於第壹個四邊形柱{110}與平行雙面{001}之間的直線上；第二個四邊形雙錐{h 0 l}(包括{100})來源於與Z軸傾斜的晶面，投影點位於第二個四邊形柱{100}與平行雙面{001}之間的直線上；與X、Y、Z軸傾斜，不平行也不垂直於任何對稱元素，投影點在重復三角形內的晶面，導出單形復四角雙錐{hkl}，這是晶類的壹般形狀，以上四種單形類型是變形。
圖5-19等軸晶多晶化實例
四方晶系* * *有七種晶型，復四方雙錐晶型對稱度最高。在其他晶體中，由於對稱元素相對減少，導出的壹些單形可以看作上述單形的半面像。例如，在水平對稱面和L2被取消的晶體(4，4 mm)中，出現了與雙錐對應的單錐和與平行雙面對應的單面；在只有對稱軸組合而沒有對稱面的晶體(42)中，有壹個復雜的四邊形雙錐-四方小面{hkl}的半面像，可分為左右兩種形狀。在有Z軸的晶體中，八個象限(以晶軸為界)的晶面交替出現，從而形成壹個正方雙錐正負四方的半面像，壹個復四方雙錐-復四方{HKL}的半面像以對稱型出現；在沒有平行Z軸對稱面的晶體(4/m)中，出現了復雜四方柱-第三四方柱{hk 0}的半面像和復雜四方雙錐-第三四方雙錐{hkl}的半面像。見圖5-21第壹、第二、第三四方柱截面方位的比較。類似地，第三四邊形柱{hk 0}出現在對稱型4中，第三四邊形四面體{ hkl }出現在對稱型和復四角雙錐的四分之壹像中。
根據各對稱元素的赤平投影(表4-2)和各晶型的單形表(表5-4)，可以推導出四方晶系中各晶型的單形。
圖5-20復雜四方雙錐晶體的對稱元素和單形的赤平投影
圖5-21三個方柱的截面比較
通過對極射赤平投影的重復三角形的分析，我們得到了四方單形的七種可能的形數。四角形單形表(表5-4)橫向觀察，可以總結出每個形數可能代表的單形。{001}:平行雙面和單面；{110}: (1)方柱；{100}:(秒)方柱；{hk 0}:復四角柱，(第三)四角柱；{hhl}: (1)四方雙錐，(1)四方單錐，(1)四方四面體；{h0 l}:(第二)四方雙錐，(第二)四方單錐，(第二)四方四面體；{hkl}:復四邊形雙錐，復四邊形單錐，正方部分多面體，(iii)正方雙錐，(iii)正方單錐，(iii)正方四面體，復正方部分三角多面體。
多晶型分析的例子圖5-22列出了復雜四方雙錐晶體的四種多晶型。
3.三方和六方晶系
三方晶系有壹個L3；六角系統有壹個L6或。根據晶體對稱性的特點，三面或六面晶系應選擇四個晶軸，以唯壹的高階軸(L3，L6，)為Z軸，垂直於Z軸的三個L2或P的法線或平行晶體邊緣的方向為X、Y、U軸。Z軸垂直，X軸斜向觀察者的左前方(前端為正)，U軸斜向觀察者的右前方(後端為正)，Y軸左右。三個橫軸的正角都是120，它們的平面都垂直於Z軸。晶體常數為a=b≠c，α=β= 90°，γ = 120。
圖5-22四方多晶化的例子
圖5-23是復雜六角雙錐晶體(6/mmm)對稱元素的赤平投影圖，其重復三角形用陰影標出，三角形以晶軸Z和L2露點為X與夾角的角分割線為頂點。根據三角形的三個角、三條邊和內部等七種單形的原晶面的投影位置，導出了三角形和六邊形單形的七種可能的形數。
根據表4-2(表5-5和表5-6)所列的赤平投影圖和單形名稱表，可以用上述同樣的方法導出屬於三方和六方晶系的每壹種晶型的單形。粗略地說，如果把高階軸與對稱平面或與之垂直的二次軸結合起來，就可以導出雙錐；如果高階軸單獨出現或者只與平行於它的對稱軸組合出現，就會導出單個圓錐；如果高次軸只與垂直於它的次軸結合，則導出偏體；在包含的對稱型中，出現了菱面體，如果有對稱面，也可以導出復雜的三角多面體。
通過對表5-5和表5-6的橫向觀察，我們可以總結出可能由三角形和六邊形晶系的七種可能形狀數所表示的單形。
(1)晶面垂直於Z軸，即形狀號為{0001}的單形為平行雙面或單面。
平行於Z軸的晶面位置有三種，它們衍生出三種單形:
(2)晶面平行於Z軸和水平軸。此時晶面必須與另外兩個橫軸長度相等，形數為。單純形可能是:第壹個六角柱和第三個立方柱。
(3)晶面平行於Z軸並垂直於水平軸。此時晶面的另外兩個橫軸必須是等長的，形數為。可能的導出單形是:第二個六角柱和第二個立方柱。
圖5-23復雜六方雙錐晶體對稱元素和單形的赤平投影
(4)晶面平行於Z軸且三個橫軸不等長，形數為。可能的導出單形是:第三六邊形柱、第三立方柱、復六邊形柱和復三角柱。
第壹、第二和第三六邊形柱的相對位置如圖5-24所示。
圖5-24三種六邊形柱截面的比較
與圓柱體的上述三個位置相對應，與Z軸傾斜的晶面也有以下三個位置:
(5)晶面傾斜於Z軸並平行於水平軸。此時晶面必須與另外兩個橫軸長度相等，形狀數為}(包括。單形可能是:第壹六邊形雙錐、第壹六邊形單錐、第三三角形雙錐、第三三角形單錐和第壹菱形。
(6)晶面與Z軸傾斜，兩橫軸相等。如果截距為1，則另壹橫軸上的截距為1/2，形狀數為(含)。可能單形是:第二六邊形雙錐、第二六邊形單錐、第二三角形雙錐、第二三角形單錐和第二菱形。
(7)晶面斜交Z軸，橫軸不等長，形數為。可能的單形有:第三六角雙錐、第三六角單錐、第三三角雙錐、第三三角單錐、第三三菱多面體、復六角雙錐、復六角單錐、復三角雙錐、復三角多面體、六角多面體和三角多面體、***12種單形。它們是它們所屬的晶體的壹般形式。
多晶型分析的例子圖5-25列出了復雜六角雙錐晶體(A)和復雜三角立方晶體(B)、(C)和(D)的四種多晶型。
圖5-25三邊形和六邊形多態的例子
4.斜晶系
正交晶系沒有更高的軸，L2或p不止壹個，取相互垂直的3L2為X、Y、Z軸；對於L22P對稱型，L2是z軸，P的法線是x和y軸。晶體常數的特征是:a≠b≠c，α = β = γ = 90。
需要指出的是，對於屬於mmm和222對稱類型的晶體，有六種取向方法符合上述原則。如圖5-26所示，在同壹個菱形單元中可以出現六個不同的方向。取向不同，A、B、C反過來，軸比數字不同(壹般軸比是1帶B)，晶面符號不同。以重晶石為例，圖5-27顯示了它的兩種取向和形狀。在第壹方位(a)，軸比是a:b:c = 1.6304:1:1.3136；在第二方位(b)，軸比是a:b:c = 1.2412:1:0.7612。
圖5-26正交晶系中的六種不同取向
圖5-27重晶石的兩種取向
圖5-28正交晶系多晶化的例子
斜晶是單形和形數。它們在各種晶體中的分布見表5-3。對稱元素的赤平投影和各對稱類型的壹般形狀見表4-2。
單面{001}，雙面{0 kl}或{h 0 l}:只存在於該晶系的斜方晶單錐(mm)晶體中。
圖5-29單斜系統多晶化實例
圖5-30三斜晶系多晶化實例
平行雙面{100}、{010}、{001}:可以垂直於任何晶軸出現。它可以出現在這個晶系的所有晶體中。
斜方柱{0 kl}、{h 0 l}和{hk 0}:它們可以平行於任何晶軸出現，也可以在這個晶系的所有晶體中發現。圓柱角不定，間隔相等，截面為菱形。
斜雙錐、斜單錐和斜四面體:它們的形狀都是{hkl}，而且是壹般形狀:只存在於這個晶系的斜雙錐(mmm)、斜單錐(mm)和斜四面體(222)中。
多晶型分析的例子圖5-28列出了菱形雙錐晶體的三種多晶型。
5.單斜晶系
單斜晶系沒有更高的軸，L2和P不超過壹個，取L2或P的法線為Y軸，兩個晶體棱垂直於Y軸的方向為X軸和Z軸。晶體常數的特征是:a≠b≠c，α=γ= 90°，β> 90°。
各晶型中單斜單形和形數分布見表5-2。對稱元素的赤平投影和各對稱類型的壹般形狀見表4-2。在L2和P對稱形式中有多種單面、雙面和平行雙面。在L 2 PC對稱型中，只有斜方柱{hkl}、{0 kl}、{hk 0}和平行雙面{h 0 l}、{100}、{010}和{001}。
多晶型分析的例子圖5-29列出了三種菱形晶體的多晶型。
6.三斜晶系
三斜晶系沒有對稱軸和平面。單面晶體外表不對稱，但內部具有晶格結構。從這個意義上說，它們是對稱的。不在壹個平面上且接近垂直的三個晶體邊緣的方向是X、Y和Z軸。晶體常數的特征是:a≠b≠c，α ≠ β ≠ γ ≠ 90。
各晶體的單形和形數分布見表5-1。對稱元素和壹般形狀的赤平投影見表4-2。
壹面只存在於單面晶體中(1)；平行雙面晶體只存在於平行雙面晶體中。
如圖5-30所示，列出了平行雙面晶體的兩種多晶型。